Exercício 1: Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=\frac{x+y}{z} no ponto (1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de
f(x,y,z)=\frac{x+y}{z}
no ponto (1,1,1) e a direção em que ela ocorre. Vamos usar o conceito de gradiente:
  1. O gradiente \nabla f aponta na direção de maior crescimento de f.
  2. O módulo \|\nabla f\| no ponto é a taxa de variação máxima.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{z}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{z}, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{x+y}{z^2}.

Passo 3

Avaliamo-las em (x,y,z)=(1,1,1):
\nabla f(1,1,1) =\biggl(\frac{1}{1},\,\frac{1}{1},\,-\frac{1+1}{1^2}\biggr) =(1,\,1,\,-2).

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo de \nabla f(1,1,1):
\|\nabla f(1,1,1)\| =\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} =\sqrt{6}.

Passo 5

A direção de maior crescimento é o vetor unitário na direção de \nabla f(1,1,1):
\frac{\nabla f(1,1,1)}{\|\nabla f(1,1,1)\|} =\frac{1}{\sqrt{6}}\,(1,\,1,\,-2).

Resposta

Taxa de variação máxima: \sqrt{6}.
Direção correspondente: \displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}(1,\,1,\,-2).

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