Considere a função
Faça o que se pede em cada item:
a) Calcule
;
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
;
c) Encontre os pontos críticos de
e verifique se são de máximo ou de mínimo.
d) Determine
para analisar a concavidade do gráfico de
, exiba os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo;
e) O gráfico de
admite ponto de inflexão? Se sim, determine esse(s) ponto(s);
f) Determine os pontos de interseção do gráfico de
com os eixos
e
;
g) Esboce o gráfico de
.
a) Calcule
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
c) Encontre os pontos críticos de
d) Determine
e) O gráfico de
f) Determine os pontos de interseção do gráfico de
g) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede, em sequência:
a) ;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) pontos críticos e sua classificação;
d) e intervalos de concavidade;
e) ponto(s) de inflexão;
f) interseções com os eixos e
;
g) esboço do gráfico.
Vamos usar regra do produto, sinais de derivada e concavidade, e informação sobre limites para descrever o esboço.
a)
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) pontos críticos e sua classificação;
d)
e) ponto(s) de inflexão;
f) interseções com os eixos
g) esboço do gráfico.
Vamos usar regra do produto, sinais de derivada e concavidade, e informação sobre limites para descrever o esboço.
Passo 2
Aplicamos a regra do produto a
Temos
e
. Então
Logo,
Passo 3
Para ver crescimento e decrescimento estudamos o sinal de
Como
para todo
, o sinal de
vem de
. Assim:
– se
, i.e.\
, logo
cresce em
.
– se
, i.e.\
, logo
decresce em
.
O único ponto crítico é .
–
–
O único ponto crítico é
Passo 4
Calculamos a segunda derivada derivando
. Usando produto e derivada de
:
Podemos reescrever como
Passo 5
O sinal de
vem de
. Portanto:
– se
, i.e.\
, ou seja, concavidade para cima em
.
– se
, i.e.\
, ou seja, concavidade para baixo em
.
Em ocorre mudança de concavidade, logo há ponto de inflexão em
. O valor é
.
–
–
Em
Passo 6
Interseção com o eixo
: resolvemos
. Como
, fica
.
Interseção com o eixo : basta
, então
.
Temos apenas o ponto .
Interseção com o eixo
Temos apenas o ponto
Passo 7
Para esboçar o gráfico:
– Domínio: .
– Quando ,
e
, logo
.
– Quando ,
e
, logo
.
– Cresce até , onde atinge máximo local
.
– Depois decresce, passando por inflexão em com
, e aproxima-se do eixo
por cima.
– Passa pela origem e é negativa para , positiva para
.
– Domínio:
– Quando
– Quando
– Cresce até
– Depois decresce, passando por inflexão em
– Passa pela origem e é negativa para
Resposta
a)
.
b) Cresce em e decresce em
.
c) Ponto crítico em ; é máximo local pois
troca de positivo para negativo.
d) ; concava-para-baixo em
e concava-para-cima em
.
e) Sim: ponto de inflexão em .
f) Única interseção com eixos em .
g) Esboço: começa em para
, sobe passando por
, atinge máximo
, inflexão em
, e decai para
.
b) Cresce em
c) Ponto crítico em
d)
e) Sim: ponto de inflexão em
f) Única interseção com eixos em
g) Esboço: começa em