Considere a função
f(x)=x \cdot e^{-x}
Faça o que se pede em cada item:
a) Calcule f^{\prime}(x);
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f;
c) Encontre os pontos críticos de f e verifique se são de máximo ou de mínimo.
d) Determine f^{\prime \prime}(x) para analisar a concavidade do gráfico de f, exiba os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo;
e) O gráfico de f admite ponto de inflexão? Se sim, determine esse(s) ponto(s);
f) Determine os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos x e y;
g) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x\,e^{-x}
e pede, em sequência:
a) f'(x);
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) pontos críticos e sua classificação;
d) f''(x) e intervalos de concavidade;
e) ponto(s) de inflexão;
f) interseções com os eixos x e y;
g) esboço do gráfico.
Vamos usar regra do produto, sinais de derivada e concavidade, e informação sobre limites para descrever o esboço.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto a
f(x)=x\cdot e^{-x}.
Temos u(x)=x e v(x)=e^{-x}. Então
u'(x)=1, \quad v'(x)=-e^{-x}.
Logo,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x}) =e^{-x}(1-x).

Passo 3

Para ver crescimento e decrescimento estudamos o sinal de
f'(x)=e^{-x}(1-x).
Como e^{-x}>0 para todo x, o sinal de f'(x) vem de 1-x. Assim:
f'(x)>0 se 1-x>0, i.e.\ x<1, logo f cresce em (-\infty,1).
f'(x)<0 se 1-x<0, i.e.\ x>1, logo f decresce em (1,\infty).
O único ponto crítico é x=1.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada derivando f'(x)=e^{-x}(1-x). Usando produto e derivada de e^{-x}:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[e^{-x}\bigr]\,(1-x) +e^{-x}\,\frac{d}{dx}(1-x) =-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1) =-e^{-x}\bigl((1-x)+1\bigr) =-e^{-x}(2-x).
Podemos reescrever como
f''(x)=e^{-x}(x-2).

Passo 5

O sinal de f''(x)=e^{-x}(x-2) vem de x-2. Portanto:
f''(x)>0 se x-2>0, i.e.\ x>2, ou seja, concavidade para cima em (2,\infty).
f''(x)<0 se x-2<0, i.e.\ x<2, ou seja, concavidade para baixo em (-\infty,2).
Em x=2 ocorre mudança de concavidade, logo há ponto de inflexão em x=2. O valor é f(2)=2e^{-2}.

Passo 6

Interseção com o eixo x: resolvemos f(x)=0. Como e^{-x}\neq0, fica x=0.
Interseção com o eixo y: basta x=0, então f(0)=0.
Temos apenas o ponto (0,0).

Passo 7

Para esboçar o gráfico:
– Domínio: \mathbb R.
– Quando x\to-\infty, e^{-x}\to\infty e x\to-\infty, logo f(x)\to -\infty.
– Quando x\to+\infty, e^{-x}\to0 e x\to+\infty, logo f(x)\to0^+.
– Cresce até x=1, onde atinge máximo local f(1)=1/e.
– Depois decresce, passando por inflexão em x=2 com f(2)=2/e^2, e aproxima-se do eixo x por cima.
– Passa pela origem e é negativa para x<0, positiva para x>0.

Resposta

a) \displaystyle f'(x)=e^{-x}(1-x).
b) Cresce em (-\infty,1) e decresce em (1,\infty).
c) Ponto crítico em x=1; é máximo local pois f' troca de positivo para negativo.
d) \displaystyle f''(x)=e^{-x}(x-2); concava-para-baixo em (-\infty,2) e concava-para-cima em (2,\infty).
e) Sim: ponto de inflexão em \bigl(2,2e^{-2}\bigr).
f) Única interseção com eixos em (0,0).
g) Esboço: começa em -\infty para x\to-\infty, sobe passando por (0,0), atinge máximo \bigl(1,1/e\bigr), inflexão em \bigl(2,2/e^2\bigr), e decai para 0^+.

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