- Calcule o valor da integral dada por
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
A tarefa é calcular o valor numérico (exato) dessa integral.
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta que costuma resolver integrais do tipo “função complicada” vezes “algo simples”: a fórmula de integração por partes. Vou derivá-la rapidamente para ficar claro o que usamos.
Começamos da regra do produto para derivadas: se
e
, então
Integrando ambos os lados no intervalo
e rearranjando obtemos a versão de integrais:
Esta é a fórmula de integração por partes para integrais definidas. Aqui:
-
é uma função que escolhemos para diferenciar (gera ), -
é a parte que integramos para obter .
Explicando em palavras: integrar por partes troca a operação de integrar um produto por algo relacionado a um produto avaliado nas bordas menos outra integral, frequentemente mais simples.
Passo 3
Agora escolhemos as funções para aplicar integração por partes à nossa integral. Uma escolha natural é:
Justificativa (didática): escolhemos
porque sua derivada é simples e conhecida; escolhemos
(ou seja, a parte “
”) porque sua primitiva é óbvia (
). Vamos calcular
e a primitiva de
.
- Derivada de
: uma forma curta de ver isso é derivar . Pela regra da cadeia,
Como
e
, obtemos
. Portanto
Ou em forma diferencial:
- Uma primitiva de
é simplesmente , isto é, se é a diferencial, então escolhemos tal que .
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes (definida) com
e
(ou
), temos
Explicando cada termo:
-
é o produto avaliado em menos em . - A nova integral é
, que é mais simples e podemos calcular por substituição.
Passo 5
Calcular a integral
Use a substituição
. Então
, ou seja
. Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
A primitiva de
é
, logo
pois
.
Passo 6
Agora voltamos à expressão do Passo 4. Calculamos o termo de fronteira:
já que
. Substituindo a integral do Passo 5:
Isso é uma forma fechada e exata da resposta. Se quiser uma ideia numérica,
(rad), então o valor numérico aproximado é
, mas a forma exata é preferível para provas.