1. Calcule o valor da integral dada por
\int_{0}^{2} \arctan v d v

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{2} \arctan v\,dv.
Informações dadas:
  • O integrando é a função \arctan v.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 2 (superior).
    A tarefa é calcular o valor numérico (exato) dessa integral.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta que costuma resolver integrais do tipo “função complicada” vezes “algo simples”: a fórmula de integração por partes. Vou derivá-la rapidamente para ficar claro o que usamos.
Começamos da regra do produto para derivadas: se u=u(x) e w=w(x), então
\frac{d}{dx}\big(u(x)w(x)\big)=u'(x)w(x)+u(x)w'(x).
Integrando ambos os lados no intervalo [a,b] e rearranjando obtemos a versão de integrais:
\int_{a}^{b} u(x)w'(x)\,dx = \big[u(x)w(x)\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)w(x)\,dx.
Esta é a fórmula de integração por partes para integrais definidas. Aqui:
  • u(x) é uma função que escolhemos para diferenciar (gera u'(x)),
  • w'(x)\,dx é a parte que integramos para obter w(x).
Explicando em palavras: integrar por partes troca a operação de integrar um produto por algo relacionado a um produto avaliado nas bordas menos outra integral, frequentemente mais simples.

Passo 3

Agora escolhemos as funções para aplicar integração por partes à nossa integral. Uma escolha natural é:
u(v)=\arctan v,\qquad dv = dv.
Justificativa (didática): escolhemos u=\arctan v porque sua derivada é simples e conhecida; escolhemos dv=dv (ou seja, a parte “ 1\cdot dv”) porque sua primitiva é óbvia ( v). Vamos calcular du e a primitiva de dv.
  • Derivada de \arctan v: uma forma curta de ver isso é derivar \tan(\arctan v)=v. Pela regra da cadeia,
\operatorname{sec}^2(\arctan v)\cdot\frac{d}{dv}\big(\arctan v\big)=1.
Como \operatorname{sec}^2(\theta)=1+\tan^2(\theta) e \tan(\arctan v)=v, obtemos \operatorname{sec}^2(\arctan v)=1+v^2. Portanto
\frac{d}{dv}\big(\arctan v\big)=\frac{1}{1+v^2}.
Ou em forma diferencial:
du = \frac{1}{1+v^2}\,dv.
  • Uma primitiva de dv é simplesmente v, isto é, se dv é a diferencial, então escolhemos w(v)=v tal que dw=dv.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes (definida) com u=\arctan v e w'=1 (ou dv), temos
\int_{0}^{2} \arctan v\,dv = \big[v\arctan v\big]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} v\cdot\frac{1}{1+v^2}\,dv.
Explicando cada termo:
  • \big[v\arctan v\big]_{0}^{2} é o produto v\arctan v avaliado em v=2 menos em v=0.
  • A nova integral é \int_{0}^{2} \dfrac{v}{1+v^2}\,dv, que é mais simples e podemos calcular por substituição.

Passo 5

Calcular a integral
\int_{0}^{2} \frac{v}{1+v^2}\,dv.
Use a substituição t=1+v^2. Então dt=2v\,dv, ou seja v\,dv=\dfrac{1}{2}\,dt. Quando v=0 temos t=1. Quando v=2 temos t=1+2^2=5. Assim
\int_{0}^{2}\frac{v}{1+v^2}\,dv = \int_{t=1}^{t=5}\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{1}{t}\,dt.
A primitiva de 1/t é \ln t, logo
\int_{0}^{2}\frac{v}{1+v^2}\,dv = \frac{1}{2}\big[\ln t\big]_{1}^{5} = \frac{1}{2}\big(\ln 5 - \ln 1\big) = \frac{1}{2}\ln 5,
pois \ln 1 = 0.

Passo 6

Agora voltamos à expressão do Passo 4. Calculamos o termo de fronteira:
\big[v\arctan v\big]_{0}^{2} = 2\arctan 2 - 0\cdot\arctan 0 = 2\arctan 2,
já que \arctan 0 = 0. Substituindo a integral do Passo 5:
\int_{0}^{2} \arctan v\,dv = 2\arctan 2 - \frac{1}{2}\ln 5.
Isso é uma forma fechada e exata da resposta. Se quiser uma ideia numérica, \arctan 2\approx 1{,}1071 (rad), então o valor numérico aproximado é 2\cdot1{,}1071 - 0{,}5\ln 5 \approx 2{,}2142 - 0{,}8047 \approx 1{,}4095, mas a forma exata é preferível para provas.

Resposta

2\arctan 2 - \tfrac{1}{2}\ln 5

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