Calcule o valor da integral \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} d A em que D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right. e \left.x \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\,dA
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}\le 4 \text{ e } x\ge 0\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) } x^{2}+y^{2}\le 4 \quad\text{(disco de raio }2\text{)}.
\text{(ii) } x\ge 0 \quad\text{(metade direita do plano)}.
Portanto D é o semicírculo (fechado) de raio 2 centrado na origem, limitado à metade com x\ge 0. A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Vamos transformar a integral para coordenadas polares. Primeiro uma pequena aula rápida sobre coordenadas polares (porque isso facilita muito aqui):
  • Em coordenadas polares definimos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x-positivo.
  • O elemento de área em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\theta. Esse fator extra r é o determinante da transformação (Jacobiano) e aparece sempre que trocamos (x,y) por (r,\theta).
  • Aqui a integranda depende só em x^{2}+y^{2}, que em polares é r^{2}. Ou seja, a simetria do problema sugere fortemente usar polares para simplificar.
Agora os limites da região D em polares:
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 4 vira 0\le r\le 2.
  • A condição x\ge 0 equivale a \cos\theta\ge 0, o que corresponde a \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
    Logo em polares D corresponde a
0\le r\le 2,\qquad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Converter a integranda e o elemento de área:
  • Temos \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = \left(r^{2}\right)^{2} = r^{4}.
  • E dA = r\,dr\,d\theta.
    Portanto o integrando completo em polares é r^{4}\cdot r = r^{5}. A integral passa a ser
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\,dA = \int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{2} r^{5}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral interna em r. Lembre a primitiva de r^{5} é \dfrac{r^{6}}{6}. Assim
\int_{r=0}^{2} r^{5}\,dr = \left[\dfrac{r^{6}}{6}\right]_{0}^{2} = \dfrac{2^{6}}{6} = \dfrac{64}{6}.
Simplificando a fração \dfrac{64}{6} por 2 obtemos
\dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}.

Passo 5

Agora integrar em \theta. Como o resultado da integral interna é constante em \theta, temos
\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \dfrac{32}{3}\,d\theta = \dfrac{32}{3}\cdot \left(\tfrac{\pi}{2}-\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)\right).
O comprimento do intervalo de \theta é
\tfrac{\pi}{2}-\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=\pi,
logo o valor da integral é
\dfrac{32}{3}\cdot \pi.

Passo 6

Resumo do procedimento que você deve lembrar para a prova:
  • Sempre que a integranda depende de x^{2}+y^{2} e a região é circular ou setor circular, use coordenadas polares.
  • Lembre de multiplicar pelo jacobiano r.
  • Determine bem os limites de \theta a partir da condição sobre x ou y (aqui x\ge 0 deu \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]).
  • Calcule a integral radial primeiro (normalmente dá potências simples de r), depois a angular.

Resposta

\dfrac{32\pi}{3}

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