Calcule o valor da integral
em que
e
.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Portanto
é o semicírculo (fechado) de raio
centrado na origem, limitado à metade com
. A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Vamos transformar a integral para coordenadas polares. Primeiro uma pequena aula rápida sobre coordenadas polares (porque isso facilita muito aqui):
- Em coordenadas polares definimos
e , onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo -positivo. - O elemento de área em coordenadas polares é
. Esse fator extra é o determinante da transformação (Jacobiano) e aparece sempre que trocamos por . - Aqui a integranda depende só em
, que em polares é . Ou seja, a simetria do problema sugere fortemente usar polares para simplificar.
Agora os limites da região
em polares:
- A condição
vira . - A condição
equivale a , o que corresponde a .
Logo em polarescorresponde a
Passo 3
Converter a integranda e o elemento de área:
- Temos
- E
Portanto o integrando completo em polares é. A integral passa a ser
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Lembre a primitiva de
é
. Assim
Simplificando a fração
por
obtemos
Passo 5
Agora integrar em
. Como o resultado da integral interna é constante em
, temos
O comprimento do intervalo de
é
logo o valor da integral é
Passo 6
Resumo do procedimento que você deve lembrar para a prova:
- Sempre que a integranda depende de
e a região é circular ou setor circular, use coordenadas polares. - Lembre de multiplicar pelo jacobiano
. - Determine bem os limites de
a partir da condição sobre ou (aqui deu ). - Calcule a integral radial primeiro (normalmente dá potências simples de
), depois a angular.