Durante quanto tempo foi aplicado um capital de \mathrm{R} \ 10.000 , gerou um montante de R\ 12.250 com uma taxa de 1,5% a.m

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Capital inicial: C = \mathrm{R}\$\,10{.}000.
  • Montante obtido: M = \mathrm{R}\$\,12{.}250.
  • Taxa de juros: i = 1,5\% ao mês.
  • Pergunta: “Durante quanto tempo foi aplicado o capital?” — ou seja, determinar o número de meses n que o dinheiro ficou aplicado.

Passo 2

Decisão do método e explicação da fórmula (aula curta e prática).
O enunciado não especificou se os juros são simples ou compostos. Em provas de graduação, quando não especificado e se a conta fica simples, costuma-se usar juros simples porque é o método mais básico e é o que apareceria primeiro em um curso introdutório. Além disso, com juros simples os números aqui dão uma resposta inteira bonita (o que é típico de exercícios didáticos). Por isso vou resolver por juros simples e explico por que a fórmula funciona.
Fórmula de juros simples:
J = C \cdot i \cdot n
onde
  • J é o valor dos juros acumulados,
  • C é o capital inicial,
  • i é a taxa por período (em forma decimal),
  • n é o número de períodos.
O montante M (capital + juros) é
M = C + J = C + C i n = C(1 + i n).
Aqui n será contado em meses, porque a taxa é mensal.

Passo 3

Aplicando os valores e resolvendo passo a passo.
Substituímos M, C e i na fórmula \,M = C(1 + i n)\,:
\mathrm{R}\$\,12{.}250 = \mathrm{R}\$\,10{.}000 \bigl(1 + 0{,}015\,n\bigr).
Dividimos ambos os lados por \mathrm{R}\$\,10{.}000 para isolar o parêntesis:
\frac{12{.}250}{10{.}000} = 1 + 0{,}015\,n.
Calculando a divisão:
1{,}225 = 1 + 0{,}015\,n.
Subtraindo 1 dos dois lados:
0{,}225 = 0{,}015\,n.
Agora isolamos n dividindo por 0{,}015:
n = \frac{0{,}225}{0{,}015}.
Para facilitar a conta, multiplicamos numerador e denominador por 1000:
n = \frac{225}{15} = 15.
Portanto n = 15 meses.

Passo 4

Interpretação do resultado e dica de prova.
  • 15 meses é igual a 1 ano e 3 meses (porque 15 = 12 + 3).
  • Dica prática para a prova: sempre cheque as unidades (a taxa é por mês então o tempo fica em meses). Se a taxa fosse anual, transformaríamos tudo para anos antes de aplicar a fórmula.
  • Seja confiante: o procedimento foi direto — usar a fórmula de juros simples, substituir, isolar n e calcular. Você pode replicar esse passo a passo em outros exercícios parecidos.

Passo 5

Observação importante (se o enunciado tivesse pedido juros compostos)
Se o correto fosse juros compostos, usaríamos
M = C(1+i)^n.
Substituindo:
1{,}225 = (1{,}015)^n.
Tomando logaritmo natural:
n = \frac{\ln(1{,}225)}{\ln(1{,}015)} \approx 13{,}62\\ \text{meses},
ou seja, aproximadamente 13 meses e 19 dias. Essa é uma alternativa válida se o problema exigir capitalização composta; por isso sempre verifique o enunciado. Como expliquei, escolhi juros simples por ser o método mais básico e apropriado ao enunciado ambíguo deste exercício.

Resposta

15 meses ( 1 ano e 3 meses)

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