O elevador D e sua carga têm uma massa combinada de 300 kg , enquanto o contrapeso C tem massa de 400 kg . Determine a potência liberada pelo motor elétrico M quando o elevador se move para cima com uma velocidade constante de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e (b) se move com uma velocidade instantânea de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e aceleração de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, ambas orientadas para cima.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados numéricos:
    • Massa combinada do elevador e carga: \;m_D = 300\\ \mathrm{kg}.
    • Massa do contrapeso: \;m_C = 400\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade (no enunciado) para ambos os itens: \;v = 2,5\\ \mathrm{m/s}, orientada para cima para o elevador.
    • No item (b) há aceleração instantânea: \;a = 1\\ \mathrm{m/s^2}, orientada para cima para o elevador.
    • Usei a aceleração da gravidade \;g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • O que o problema pede:
    • (a) Determinar a potência liberada pelo motor M quando o elevador sobe com velocidade constante de \;2,5\\ \mathrm{m/s}.
    • (b) Determinar a potência liberada pelo motor M quando o elevador sobe com velocidade instantânea de \;2,5\\ \mathrm{m/s} e aceleração de \;1\\ \mathrm{m/s^2}, ambas para cima.
Observações importantes tiradas do enunciado (sem resolver ainda):
  • Quando o elevador sobe, o contrapeso desce com a mesma velocidade (a corda é inextensível), portanto a velocidade escalar do contrapeso tem mesma magnitude \;2,5\\ \mathrm{m/s} porém direção oposta.
  • O mesmo vale para a aceleração: no item (b) o contrapeso tem aceleração igual em magnitude e oposta em direção à do elevador.

Passo 2

Conceitos físicos e fórmulas que vamos usar (explicados devagar, como numa aulinha):
  1. Potência e trabalho:
    • Potência instantânea P é a taxa de variação da energia mecânica que o atuador (aqui o motor) fornece ao sistema.
    • Em termos gerais:
    P_M = \frac{d}{dt}(\text{Energia Cinética total} + \text{Energia Potencial total}).é
    Explico cada termo abaixo.
  2. Energia potencial gravitacional:
    • Para uma massa m com velocidade vertical v_y (positiva para cima), a taxa de variação da sua energia potencial \;U=m g y é
    \frac{dU}{dt} = m g v_y.
    • No nosso sistema há duas massas ( m_D e m_C), então a taxa total de variação de energia potencial é
    \frac{dU}{dt} = m_D g v_D + m_C g v_C,
    onde v_D é a velocidade vertical do elevador (positiva para cima) e v_C a do contrapeso (positiva para cima).
  3. Energia cinética:
    • A energia cinética de uma massa m que se move verticalmente com velocidade v é \tfrac{1}{2} m v^2.
    • A taxa de variação da energia cinética é
    \frac{dK}{dt} = m v a,
    porque \dfrac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2} m v^2\right) = m v \dfrac{dv}{dt} = m v a.
    • Para o sistema com duas massas:
    \frac{dK}{dt} = m_D v_D a_D + m_C v_C a_C.
  4. Regra de sinais (muito importante):
    • Vou tomar a direção para cima como positiva.
    • Se o elevador sobe com velocidade \;v=2,5\\ \mathrm{m/s}, então v_D=+2,5\\ \mathrm{m/s} e o contrapeso desce, ou seja v_C=-2,5\\ \mathrm{m/s}.
    • Sinal semelhante para acelerações: se o elevador tem a_D=+1\\ \mathrm{m/s^2}, o contrapeso tem a_C=-1\\ \mathrm{m/s^2}.
  5. Fórmula final que usaremos:
    P_M = \frac{dK}{dt} + \frac{dU}{dt} = \bigl(m_D v_D a_D + m_C v_C a_C\bigr) + \bigl(m_D g v_D + m_C g v_C\bigr).
    Essa é a taxa de variação total da energia mecânica do sistema; é igual à potência fornecida ao sistema pelo motor (positiva se o motor fornece energia, negativa se o motor absorve energia).

Passo 3

Aplicação ao caso (a): movimento com velocidade constante.
  • Quando a velocidade é constante, a aceleração é zero:
    a_D = 0,\qquad a_C = 0.
    Portanto \dfrac{dK}{dt}=0.
  • As velocidades (tomando cima positiva) são:
    v_D = +2,5\\ \mathrm{m/s},\qquad v_C = -2,5\\ \mathrm{m/s}.
  • A taxa de variação da energia potencial é
    \frac{dU}{dt} = m_D g v_D + m_C g v_C.
    Substituindo:
    \frac{dU}{dt} = 300\cdot 9,81 \cdot (+2,5) + 400\cdot 9,81 \cdot (-2,5).

Passo 4

Cálculo numérico para (a) passo a passo:
  • Calcule cada termo: 300\cdot 9,81 \cdot 2,5 = 300 \cdot 24,525 = 7\;357,5\\ \mathrm{W}.
400\cdot 9,81 \cdot (-2,5) = -400 \cdot 24,525 = -9\;810,0\\ \mathrm{W}.
  • Somando:
    \frac{dU}{dt} = 7\;357,5 - 9\;810,0 = -2\;452,5\\ \mathrm{W}.
  • Como \dfrac{dK}{dt}=0, a potência do motor é
    P_M = -2\;452,5\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação física: o resultado negativo significa que a energia potencial total do sistema está diminuindo (o contrapeso mais pesado desce mais energia do que o elevador sobe), logo o motor não precisa fornecer energia — pelo contrário, ele recebe energia (funciona como gerador) e libera energia para a rede ou para freios regenerativos. Em módulo, a potência envolvida é \;2\;452,5\\ \mathrm{W} (aprox. \;2,45\\ \mathrm{kW}).

Passo 5

Aplicação ao caso (b): movimento para cima com aceleração para cima.
  • Dados: v_D = +2,5\\ \mathrm{m/s},\quad a_D = +1\\ \mathrm{m/s^2},
v_C = -2,5\\ \mathrm{m/s},\quad a_C = -1\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Vamos calcular \dfrac{dK}{dt} e \dfrac{dU}{dt} separadamente e somar.

Passo 6

Cálculo da variação de energia cinética para (b):
  • Fórmula:
    \frac{dK}{dt} = m_D v_D a_D + m_C v_C a_C.
  • Substituindo números:
    \frac{dK}{dt} = 300\cdot (2,5)\cdot (1) + 400\cdot (-2,5)\cdot (-1).
  • Calcule cada termo:
    300\cdot 2,5 \cdot 1 = 750\\ \mathrm{W},
400\cdot (-2,5)\cdot (-1) = 400\cdot 2,5 = 1\;000\\ \mathrm{W}.
  • Soma:
    \frac{dK}{dt} = 750 + 1\;000 = 1\;750\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: o sistema, como um todo, ganha energia cinética a uma taxa de \;1\;750\\ \mathrm{W}; isso é energia que o motor teria que fornecer (ou permitir) para acelerar as massas.

Passo 7

Cálculo da variação de energia potencial para (b):
  • Já usamos a fórmula antes:
    \frac{dU}{dt} = m_D g v_D + m_C g v_C.
  • As velocidades são as mesmas do item (a), então a conta é idêntica:
    \frac{dU}{dt} = -2\;452,5\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Somando as contribuições para obter a potência do motor em (b):
  • Usando
    P_M = \frac{dK}{dt} + \frac{dU}{dt},
    temos
    P_M = 1\;750 - 2\;452,5 = -702,5\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação física: apesar de o motor ter que fornecer energia para aumentar a energia cinética ( +1\;750\\ \mathrm{W}), o contrapeso mais pesado fornece ainda mais energia potencial convertida em trabalho ( -2\;452,5\\ \mathrm{W} no sentido de redução de energia potencial do sistema), portanto sobra energia que é entregue ao motor. O sinal negativo significa que, novamente, o motor está absorvendo energia (gera energia para a rede) no instante considerado. Em módulo, são \;702,5\\ \mathrm{W} (aprox. \;0,703\\ \mathrm{kW}).

Passo 9

Resumo final dos resultados numéricos (preparando a resposta final compacta):
  • (a) P_M = -2\;452,5\\ \mathrm{W} (motor absorve energia; \approx -2,45\\ \mathrm{kW}).
  • (b) P_M = -702,5\\ \mathrm{W} (motor absorve energia; \approx -0,703\\ \mathrm{kW}).

Resposta

(a) -2\,452,5\\ \mathrm{W}
(b) -702,5\\ \mathrm{W}

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