O elevador
e sua carga têm uma massa combinada de 300 kg , enquanto o contrapeso
tem massa de 400 kg . Determine a potência liberada pelo motor elétrico
quando o elevador se move para cima com uma velocidade constante de
e
se move com uma velocidade instantânea de
e aceleração de
, ambas orientadas para cima.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
-
Dados numéricos:
- Massa combinada do elevador e carga:
. - Massa do contrapeso:
. - Velocidade (no enunciado) para ambos os itens:
, orientada para cima para o elevador. - No item (b) há aceleração instantânea:
, orientada para cima para o elevador. - Usei a aceleração da gravidade
(valor padrão).
- Massa combinada do elevador e carga:
-
O que o problema pede:
- (a) Determinar a potência liberada pelo motor
quando o elevador sobe com velocidade constante de . - (b) Determinar a potência liberada pelo motor
quando o elevador sobe com velocidade instantânea de e aceleração de , ambas para cima.
- (a) Determinar a potência liberada pelo motor
Observações importantes tiradas do enunciado (sem resolver ainda):
- Quando o elevador sobe, o contrapeso desce com a mesma velocidade (a corda é inextensível), portanto a velocidade escalar do contrapeso tem mesma magnitude
porém direção oposta. - O mesmo vale para a aceleração: no item (b) o contrapeso tem aceleração igual em magnitude e oposta em direção à do elevador.
Passo 2
Conceitos físicos e fórmulas que vamos usar (explicados devagar, como numa aulinha):
-
Potência e trabalho:
- Potência instantânea
é a taxa de variação da energia mecânica que o atuador (aqui o motor) fornece ao sistema. - Em termos gerais:
Explico cada termo abaixo. - Potência instantânea
-
Energia potencial gravitacional:
- Para uma massa
com velocidade vertical (positiva para cima), a taxa de variação da sua energia potencial é
- No nosso sistema há duas massas (
e ), então a taxa total de variação de energia potencial é
ondeé a velocidade vertical do elevador (positiva para cima) e a do contrapeso (positiva para cima). - Para uma massa
-
Energia cinética:
- A energia cinética de uma massa
que se move verticalmente com velocidade é . - A taxa de variação da energia cinética é
porque. - Para o sistema com duas massas:
- A energia cinética de uma massa
-
Regra de sinais (muito importante):
- Vou tomar a direção para cima como positiva.
- Se o elevador sobe com velocidade
, então e o contrapeso desce, ou seja . - Sinal semelhante para acelerações: se o elevador tem
, o contrapeso tem .
-
Fórmula final que usaremos:Essa é a taxa de variação total da energia mecânica do sistema; é igual à potência fornecida ao sistema pelo motor (positiva se o motor fornece energia, negativa se o motor absorve energia).
Passo 3
Aplicação ao caso (a): movimento com velocidade constante.
-
Quando a velocidade é constante, a aceleração é zero:Portanto
. -
As velocidades (tomando cima positiva) são:
-
A taxa de variação da energia potencial éSubstituindo:
Passo 4
Cálculo numérico para (a) passo a passo:
- Calcule cada termo:
-
Somando:
-
Como
, a potência do motor é -
Interpretação física: o resultado negativo significa que a energia potencial total do sistema está diminuindo (o contrapeso mais pesado desce mais energia do que o elevador sobe), logo o motor não precisa fornecer energia — pelo contrário, ele recebe energia (funciona como gerador) e libera energia para a rede ou para freios regenerativos. Em módulo, a potência envolvida é
(aprox. ).
Passo 5
Aplicação ao caso (b): movimento para cima com aceleração para cima.
- Dados:
- Vamos calcular
e separadamente e somar.
Passo 6
Cálculo da variação de energia cinética para (b):
-
Fórmula:
-
Substituindo números:
-
Calcule cada termo:
-
Soma:
-
Interpretação: o sistema, como um todo, ganha energia cinética a uma taxa de
; isso é energia que o motor teria que fornecer (ou permitir) para acelerar as massas.
Passo 7
Cálculo da variação de energia potencial para (b):
-
Já usamos a fórmula antes:
-
As velocidades são as mesmas do item (a), então a conta é idêntica:
Passo 8
Somando as contribuições para obter a potência do motor em (b):
-
Usandotemos
-
Interpretação física: apesar de o motor ter que fornecer energia para aumentar a energia cinética (
), o contrapeso mais pesado fornece ainda mais energia potencial convertida em trabalho ( no sentido de redução de energia potencial do sistema), portanto sobra energia que é entregue ao motor. O sinal negativo significa que, novamente, o motor está absorvendo energia (gera energia para a rede) no instante considerado. Em módulo, são (aprox. ).
Passo 9
Resumo final dos resultados numéricos (preparando a resposta final compacta):
- (a)
(motor absorve energia; ). - (b)
(motor absorve energia; ).
Resposta
(a)
(b)