1. Calcule o valor da integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{\operatorname{sen} x}^{\cos x}\left[2 y \operatorname{sen}(x)+\cos ^{2}(x)\right] d y d x
Usando o método de 3 / 8 de Simpson com m=3.

Passo 1

O enunciado pede aproximar, pelo método de 3/8 de Simpson com m=3, a integral dupla
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{\sin x}^{\cos x}\bigl[2y\sin(x)+\cos^2(x)\bigr]\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais iteradas e aplicação de fórmula de quadratura de Simpson 3/8 no intervalo em x.

Passo 2

Vamos primeiro eliminar a integral em y analiticamente. Para cada x,
\int_{\sin x}^{\cos x}\bigl[2y\sin x+\cos^2 x\bigr]\,dy =\Bigl[y^2\sin x+y\cos^2 x\Bigr]_{y=\sin x}^{y=\cos x} =\cos^3 x-\sin^3 x.
Logo a integral dupla reduz-se a
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\bigl[\cos^3 x-\sin^3 x\bigr]\,dx.

Passo 3

Denotemos
f(x)=\cos^3 x-\sin^3 x,
e vamos aproximar \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}f(x)\,dx
pela regra de 3/8 de Simpson com m=3. O passo é
h=\frac{\pi/4-0}{3}=\frac{\pi}{12},
e os nós são
x_0=0,\quad x_1=\frac{\pi}{12},\quad x_2=\frac{\pi}{6},\quad x_3=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Calculamos f(x_i):
f(x_0)=f(0)=1^3-0^3=1,
f\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr) =\cos^3\!\tfrac{\pi}{12}-\sin^3\!\tfrac{\pi}{12} \approx0{,}9659^3-0{,}2588^3 \approx0{,}9020-0{,}0173=0{,}8847,
f\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^3-\bigl(\tfrac12\bigr)^3 =\frac{3\sqrt3}{8}-\frac18 \approx0{,}6495-0{,}1250=0{,}5245,
f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^3-\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^3=0.

Passo 5

A aplicação da regra de 3/8 de Simpson é
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx \approx\frac{3h}{8}\Bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\Bigr].
Substituindo h=\pi/12 e os valores de f(x_i),
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx \approx\frac{3(\pi/12)}{8}\bigl[1+3(0{,}8847)+3(0{,}5245)+0\bigr] =\frac{\pi}{32}\bigl[1+3\cdot1{,}4092\bigr] =\frac{\pi}{32}(5{,}2276).

Resposta

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{\sin x}^{\cos x}\bigl[2y\sin x+\cos^2 x\bigr]\,dy\,dx \approx\frac{\pi}{32}\times5{,}2276 \approx0{,}5132.

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