Calcule o valor da integral
:
(a) 0
(b)
(c) 1
(d) não existe
(a) 0
(b)
(c) 1
(d) não existe
Passo 1
Enunciado: calcular a integral definida
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Observações do enunciado (apenas fatos dados):
- O integrando é uma função racional (fração de polinômios).
- O denominador
anula-se em e em . - O ponto
pertence ao intervalo de integração (é o limite superior). - O enunciado pede o valor da integral naquela faixa; dentre as alternativas está “não existe”.
Passo 2
Identificar se a integral é imprópria e como proceder:
- Como o denominador anula-se em
, a função tem singularidade em , que é o limite superior da integração. Portanto a integral é imprópria. - Definição prática: quando há singularidade no limite superior, interpretamos
se esse limite existir como número real finito. Se o limite for
ou não existir, dizemos que a integral diverge (não existe como número finito).
Passo 3
Preparar a integração: decomposição em frações parciais.
- Para integrar uma razão de polinômios, uma técnica eficiente é decompor em frações simples. Procuramos constantes
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
- Expandindo e agrupando termos:
Comparando coeficientes dos termos em
e constantes, temos o sistema
- Da segunda equação vem .
- Conclusão da decomposição:
Passo 4
Integrar a expressão obtida (princípios usados e porquê):
- Fórmulas básicas usadas (lembrando que toda expressão matemática vai com valor absoluto quando necessário):
-
. -
.
Essas fórmulas vêm da derivada de.
-
- Aplicando a integral à decomposição:
- Podemos escrever a primitiva de forma compacta:
Passo 5
Avaliar a integral imprópria como limite:
- Pela definição do Passo 2,
- Calcular
:
(Observação:
, então
.)
- Calcular o limite do termo
quando :
Quando
, temos
então
(finito), mas
, então
.
- Portanto a soma
, e assim
- Logo o limite que define a integral imprópria é
, isto é, a integral diverge para menos infinito. Como não é um número real finito, dizemos que a integral não existe (no sentido de valor finito).
Passo 6
Conclusão em relação às alternativas:
- A integral não converge para um número finito; diverge para
. - Entre as alternativas dadas, a correta é a que indica que o valor não existe como número finito.
Resposta
(d) não existe