Calcule o valor da integral \int_{1}^{2} \frac{x-1}{x(x-2)} d x :
(a) 0
(b) \infty
(c) 1
(d) não existe

Passo 1

Enunciado: calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{x-1}{x(x-2)}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{integrando } f(x)=\frac{x-1}{x(x-2)},\quad \text{intervalo } [1,2].
Observações do enunciado (apenas fatos dados):
  • O integrando é uma função racional (fração de polinômios).
  • O denominador x(x-2) anula-se em x=0 e em x=2.
  • O ponto x=2 pertence ao intervalo de integração (é o limite superior).
  • O enunciado pede o valor da integral naquela faixa; dentre as alternativas está “não existe”.

Passo 2

Identificar se a integral é imprópria e como proceder:
  • Como o denominador anula-se em x=2, a função f(x) tem singularidade em x=2, que é o limite superior da integração. Portanto a integral é imprópria.
  • Definição prática: quando há singularidade no limite superior, interpretamos
\int_{1}^{2} f(x)\,dx = \lim_{t\to 2^-} \int_{1}^{t} f(x)\,dx,
se esse limite existir como número real finito. Se o limite for \pm\infty ou não existir, dizemos que a integral diverge (não existe como número finito).

Passo 3

Preparar a integração: decomposição em frações parciais.
  • Para integrar uma razão de polinômios, uma técnica eficiente é decompor em frações simples. Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{x-1}{x(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}.
  • Multiplicando ambos os lados por x(x-2) obtemos a identidade polinomial
x-1 = A(x-2)+B x.
  • Expandindo e agrupando termos:
x-1 = (A+B)\,x -2A.
Comparando coeficientes dos termos em x e constantes, temos o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] -2A=-1. \end{cases}
  • Da segunda equação vem A=\tfrac{1}{2}\]. Então \(B=1-A=\tfrac{1}{2}.
  • Conclusão da decomposição:
\frac{x-1}{x(x-2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-2}.]

Passo 4

Integrar a expressão obtida (princípios usados e porquê):
  • Fórmulas básicas usadas (lembrando que toda expressão matemática vai com valor absoluto quando necessário):
    • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
    • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
      Essas fórmulas vêm da derivada de \ln|\,\cdot\,|.
  • Aplicando a integral à decomposição:
\int \frac{x-1}{x(x-2)}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx + \frac{1}{2}\int\frac{1}{x-2}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-2| + C.
  • Podemos escrever a primitiva de forma compacta:
F(x)=\frac{1}{2}\bigl(\ln|x|+\ln|x-2|\bigr)=\frac{1}{2}\ln\bigl(|x|\;|x-2|\bigr).

Passo 5

Avaliar a integral imprópria como limite:
  • Pela definição do Passo 2,
\int_{1}^{2}\frac{x-1}{x(x-2)}\,dx = \lim_{t\to 2^-} \left[F(t)-F(1)\right].
  • Calcular F(1):
F(1)=\frac{1}{2}\bigl(\ln|1|+\ln|1-2|\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(0+\ln1\bigr)=0.
(Observação: |1-2|=1, então \ln1=0.)
  • Calcular o limite do termo F(t) quando t\to 2^-:
F(t)=\frac{1}{2}\bigl(\ln|t|+\ln|t-2|\bigr).
Quando t\to 2^-, temos |t|\to 2 então \ln|t|\to\ln2 (finito), mas |t-2|=2-t\to 0^+, então \ln|t-2|=\ln(2-t)\to -\infty.
  • Portanto a soma \ln|t|+\ln|t-2|\to -\infty, e assim
F(t)\to -\infty.
  • Logo o limite que define a integral imprópria é -\infty, isto é, a integral diverge para menos infinito. Como não é um número real finito, dizemos que a integral não existe (no sentido de valor finito).

Passo 6

Conclusão em relação às alternativas:
  • A integral não converge para um número finito; diverge para -\infty.
  • Entre as alternativas dadas, a correta é a que indica que o valor não existe como número finito.

Resposta

(d) não existe

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