Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente:
Passo 1
O enunciado pede para calcular ou mostrar que a integral
é convergente e, se convergente, encontrar o seu valor. Informações dadas e observações imediatas:
a função integrada é
;
o intervalo de integração é
;
há uma singularidade onde o denominador se anula, isto é em
(ponto interior ao intervalo), então temos uma integral imprópria.
Passo 2
Como há uma singularidade em
dentro do intervalo, definimos a integral imprópria como soma dos dois limites laterais:
Para que a integral original exista (seja convergente), ambos os limites devem existir e serem finitos. A partir daqui vamos avaliar cada termo.
Passo 3
Expressamos o valor absoluto em cada lado de
:
para
temos
;
para
temos
.
Logo a integral separa-se em duas integrais usuais:
Logo a integral separa-se em duas integrais usuais:
Agora avaliaremos cada uma como limite quando nos aproximamos de
.
Passo 4
Calculemos a parte à esquerda
Fazemos a mudança de variável
, então
.
Quando temos
. Quando
temos
.
Transformando a integral:
Quando
Transformando a integral:
A primitiva de
é
. Avaliando:
Note que o termo na borda
gera
, logo não há divergência nessa extremidade; a integral à esquerda é finita.
Passo 5
Calculemos a parte à direita
Fazemos a mudança de variável
, então
.
Quando temos
. Quando
temos
.
Transformando:
Quando
Transformando:
Novamente a primitiva de
é
. Avaliando:
Também aqui o limite na borda
é finito.
Passo 6
Somando as duas partes obtidas:
Concluímos que a integral é convergente e seu valor é
.