Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente:
\int_{-2}^{2} \frac{d x}{\sqrt{|x-1|}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular ou mostrar que a integral
\int_{-2}^{2}\frac{dx}{\sqrt{|x-1|}}
é convergente e, se convergente, encontrar o seu valor. Informações dadas e observações imediatas:
\; a função integrada é x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{|x-1|}};
\; o intervalo de integração é \left[-2,2\right];
\; há uma singularidade onde o denominador se anula, isto é em x=1 (ponto interior ao intervalo), então temos uma integral imprópria.

Passo 2

Como há uma singularidade em x=1 dentro do intervalo, definimos a integral imprópria como soma dos dois limites laterais:
\int_{-2}^{2}\frac{dx}{\sqrt{|x-1|}} =\lim_{a\to1^-}\int_{-2}^{a}\frac{dx}{\sqrt{|x-1|}} +\lim_{b\to1^+}\int_{b}^{2}\frac{dx}{\sqrt{|x-1|}}.
Para que a integral original exista (seja convergente), ambos os limites devem existir e serem finitos. A partir daqui vamos avaliar cada termo.

Passo 3

Expressamos o valor absoluto em cada lado de x=1:
\; para x\le 1 temos |x-1|=1-x;
\; para x\ge 1 temos |x-1|=x-1.
Logo a integral separa-se em duas integrais usuais:
\int_{-2}^{2}\frac{dx}{\sqrt{|x-1|}} =\int_{-2}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x}}+\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x-1}}.
Agora avaliaremos cada uma como limite quando nos aproximamos de 1.

Passo 4

Calculemos a parte à esquerda
I_1=\int_{-2}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x}}.
Fazemos a mudança de variável \; t=1-x, então \;dt=-dx.
Quando x=-2 temos t=3. Quando x\to1^- temos t\to0^+.
Transformando a integral:
I_1=\int_{x=-2}^{x=1}\frac{dx}{\sqrt{1-x}} =\int_{t=3}^{t=0}\frac{-dt}{\sqrt{t}} =\int_{0}^{3}t^{-1/2}\,dt.
A primitiva de t^{-1/2} é 2t^{1/2}. Avaliando:
I_1=\left[2t^{1/2}\right]_{0}^{3}=2\sqrt{3}-2\sqrt{0}=2\sqrt{3}.
Note que o termo na borda t=0 gera 0, logo não há divergência nessa extremidade; a integral à esquerda é finita.

Passo 5

Calculemos a parte à direita
I_2=\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x-1}}.
Fazemos a mudança de variável \; u=x-1, então \;du=dx.
Quando x\to1^+ temos u\to0^+. Quando x=2 temos u=1.
Transformando:
I_2=\int_{u=0}^{u=1}u^{-1/2}\,du.
Novamente a primitiva de u^{-1/2} é 2u^{1/2}. Avaliando:
I_2=\left[2u^{1/2}\right]_0^1=2\sqrt{1}-2\sqrt{0}=2.
Também aqui o limite na borda u=0 é finito.

Passo 6

Somando as duas partes obtidas:
\int_{-2}^{2}\frac{dx}{\sqrt{|x-1|}}=I_1+I_2=2\sqrt{3}+2.
Concluímos que a integral é convergente e seu valor é \;2\sqrt{3}+2.

Resposta

\;2\sqrt{3}+2

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