Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente:
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral ou mostrar que ela diverge:
\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Em todo ponto x com -1<x<1 o denominador \sqrt{1-x^{2}} é positivo, então f é bem definida e contínua em [0,1).
  • Em x=1 temos \sqrt{1-1^{2}}=0, logo a integranda fica singular (tende a +\infty). Portanto a integral é imprópria e precisa ser entendida como um limite à medida que nos aproximamos de 1 pela esquerda.
  • A pergunta é: esse limite existe finito (converge) e, em caso afirmativo, qual é o seu valor?

Passo 2

Definição de integral imprópria que vamos usar: como há singularidade em x=1, interpretamos
\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\lim_{b\to 1^-}\int_{0}^{b}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Para cada b com 0<b<1 a função é contínua em [0,b], então a integral de 0 a b é bem definida (usando antiderivadas ou mudança de variável). Depois tomamos o limite quando b tende a 1 pela esquerda. Se esse limite for finito, a integral converge; se for infinito ou não existir, diverge.

Passo 3

Escolha de método (explicando por que): uma mudança de variável simples transforma a raiz quadrada em algo confortável. A substituição clássica é
x=\sin t,
porque \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\cos t (no intervalo apropriado \cos t\ge 0). Essa substituição é rápida e limpa; também existe a abordagem por antiderivada direta usando \arcsin x, que é equivalente. Vou realizar a substituição passo a passo para você pegar a técnica.

Passo 4

Faça a substituição x=\sin t. Então:
  • Quando x=0 temos t=0.
  • Quando x=b (com b<1) temos t=\arcsin(b), que pertence a (0,\tfrac{\pi}{2}).
  • Derivando, dx=\cos t\,dt.
  • Além disso \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\cos t (aqui usamos que em t\in[0,\tfrac{\pi}{2}) a função \cos t é não negativa, então a raiz é \cos t).
    Substituindo na integral de 0 a b:
\int_{0}^{b}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\int_{t=0}^{t=\arcsin(b)}\frac{\cos t\,dt}{\cos t}=\int_{0}^{\arcsin(b)} dt.

Passo 5

A integral acima é trivial:
\int_{0}^{\arcsin(b)} dt=\arcsin(b)-0=\arcsin(b).
Portanto, voltando à definição imprópria,
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\lim_{b\to 1^-}\arcsin(b).
Como a função \arcsin(x) é contínua em (-1,1] e \arcsin(1)=\tfrac{\pi}{2}, temos
\lim_{b\to 1^-}\arcsin(b)=\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}.
Isso mostra que a integral converge e tem valor \tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Comentário didático extra (para você lembrar na prova): outra forma rápida é usar diretamente que uma primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} é \arcsin x. Para ver isso rapidamente, escreva y=\arcsin x então \sin y = x; derivando ambos os lados em relação a x obtém-se \cos y\cdot \dfrac{dy}{dx}=1, logo \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. Assim
\int_{0}^{b}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin(b)-\arcsin(0)=\arcsin(b),
e o mesmo limite leva a \tfrac{\pi}{2}. É bom lembrar essa primitiva para acelerar tempo na prova.

Passo 7

Observação qualitativa (ajuda a memorizar): geometricamente, a integral representa o comprimento do arco do círculo unitário do ponto (1,0) até (0,1) parametrizado por x — por isso aparece \tfrac{\pi}{2} (um quarto da circunferência de raio 1). Isso não é necessário no cálculo, mas ajuda a fixar o resultado.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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