Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral ou mostrar que ela diverge:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integranda é
. - Em todo ponto
com o denominador é positivo, então é bem definida e contínua em . - Em
temos , logo a integranda fica singular (tende a ). Portanto a integral é imprópria e precisa ser entendida como um limite à medida que nos aproximamos de pela esquerda. - A pergunta é: esse limite existe finito (converge) e, em caso afirmativo, qual é o seu valor?
Passo 2
Definição de integral imprópria que vamos usar: como há singularidade em
, interpretamos
Para cada
com
a função é contínua em
, então a integral de
a
é bem definida (usando antiderivadas ou mudança de variável). Depois tomamos o limite quando
tende a
pela esquerda. Se esse limite for finito, a integral converge; se for infinito ou não existir, diverge.
Passo 3
Escolha de método (explicando por que): uma mudança de variável simples transforma a raiz quadrada em algo confortável. A substituição clássica é
porque
(no intervalo apropriado
). Essa substituição é rápida e limpa; também existe a abordagem por antiderivada direta usando
, que é equivalente. Vou realizar a substituição passo a passo para você pegar a técnica.
Passo 4
Faça a substituição
. Então:
- Quando
temos . - Quando
(com ) temos , que pertence a . - Derivando,
. - Além disso
(aqui usamos que em a função é não negativa, então a raiz é ).
Substituindo na integral dea :
Passo 5
A integral acima é trivial:
Portanto, voltando à definição imprópria,
Como a função
é contínua em
e
, temos
Isso mostra que a integral converge e tem valor
.
Passo 6
Comentário didático extra (para você lembrar na prova): outra forma rápida é usar diretamente que uma primitiva de
é
. Para ver isso rapidamente, escreva
então
; derivando ambos os lados em relação a
obtém-se
, logo
. Assim
e o mesmo limite leva a
. É bom lembrar essa primitiva para acelerar tempo na prova.
Passo 7
Observação qualitativa (ajuda a memorizar): geometricamente, a integral representa o comprimento do arco do círculo unitário do ponto
até
parametrizado por
— por isso aparece
(um quarto da circunferência de raio
). Isso não é necessário no cálculo, mas ajuda a fixar o resultado.