Calcule o valor da integral
\oint_{c} \frac{\cos z}{(z-\pi i)^{2}} d z
Para qualquer contorno fechado envolvendo o ponto z_{0}=\pi i. (Obs.: Nos problemas 5 a 7 use a fórmula integral de Cauchy)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de contorno
\oint_{c} \frac{\cos z}{(z-\pi i)^{2}}\,dz
onde c é qualquer contorno fechado que envolva o ponto z_{0}=\pi i. Ou seja:
  • Dado: integrando \dfrac{\cos z}{(z-\pi i)^{2}} ao longo de um contorno fechado c que contém z=\pi i no interior.
  • Pedido: determinar o valor numérico da integral (assumindo a orientação usual positiva, isto é, anti-horária).

Passo 2

Verificar as condições para usar a fórmula de integração indicada no enunciado:
  • A função \cos z é inteira (analítica em todo o plano complexo), logo é analítica em uma vizinhança de z=\pi i.
  • O único ponto singular do integrando é z=\pi i, onde aparece o fator (z-\pi i)^{-2}.
    Como \cos z é analítica no interior de c, podemos aplicar a fórmula integral de Cauchy para derivadas (conforme pedido).

Passo 3

Enunciar a fórmula integral de Cauchy para derivadas (essa é a ferramenta que vamos usar).
Se f é analítica no interior e na fronteira de um contorno fechado C e a está no interior de C, então, para inteiro n\ge 0,
f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz.
Explicando os símbolos:
  • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a.
  • n! é o fatorial de n.
  • O integrando \dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} gera pólos de ordem n+1 em z=a.
    Para nosso caso, o integrando tem (z-\pi i)^{-2}, que corresponde a n=1 na fórmula acima.

Passo 4

Aplicar a fórmula com f(z)=\cos z, a=\pi i e n=1. Substituindo na fórmula,
f^{(1)}(a)=\frac{1!}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f(z)}{(z-a)^{2}}\,dz \quad\Longrightarrow\quad \oint_{c}\frac{f(z)}{(z-a)^{2}}\,dz = 2\pi i\, f^{(1)}(a).
Portanto
\oint_{c}\frac{\cos z}{(z-\pi i)^{2}}\,dz = 2\pi i\; \bigl(\cos z\bigr)'\big|_{z=\pi i}.

Passo 5

Calcular a derivada de f(z)=\cos z e avaliá‑la em z=\pi i:
f'(z) = (\cos z)' = -\sin z, \qquad f'(\pi i) = -\sin(\pi i).
Agora precisamos calcular \sin(\pi i). Usamos a identidade (derivada da definição exponencial):
\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
Tomando z=i y com y=\pi:
\sin(i y)=\frac{e^{i(i y)}-e^{-i(i y)}}{2i}=\frac{e^{-y}-e^{y}}{2i}=-\frac{e^{y}-e^{-y}}{2i}=-\frac{2\operatorname{sinh} y}{2i}=-\frac{\operatorname{sinh} y}{i}.
Como \dfrac{1}{i}=-i, temos \sin(i y)=i\,\operatorname{sinh} y. Assim, para y=\pi,
\sin(\pi i)=i\,\operatorname{sinh}\pi.
Logo
f'(\pi i) = -\sin(\pi i) = -\,i\,\operatorname{sinh}\pi.

Passo 6

Substituir f'(\pi i) na expressão obtida no Passo 4:
\oint_{c}\frac{\cos z}{(z-\pi i)^{2}}\,dz = 2\pi i \cdot \bigl(-i\,\operatorname{sinh}\pi\bigr).
Fazer a aritmética com os fatores imaginários:
2\pi i \cdot (-i)=2\pi\,(i\cdot -i)=2\pi\cdot 1=2\pi,
pois i\cdot (-i)=-(i^{2})= -(-1)=1. Portanto
\oint_{c}\frac{\cos z}{(z-\pi i)^{2}}\,dz = 2\pi\,\operatorname{sinh}\pi.

Resposta

2\pi\,\operatorname{sinh}\pi

Exercícios relacionados