Para qualquer contorno fechado envolvendo o ponto z_{0}=\pi i. (Obs.: Nos problemas 5 a 7 use a fórmula integral de Cauchy)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de contorno
\oint_{c} \frac{\cos z}{(z-\pi i)^{2}}\,dz
onde c é qualquer contorno fechado que envolva o ponto z_{0}=\pi i. Ou seja:
Dado: integrando \dfrac{\cos z}{(z-\pi i)^{2}} ao longo de um contorno fechado c que contém z=\pi i no interior.
Pedido: determinar o valor numérico da integral (assumindo a orientação usual positiva, isto é, anti-horária).
Passo 2
Verificar as condições para usar a fórmula de integração indicada no enunciado:
A função \cos z é inteira (analítica em todo o plano complexo), logo é analítica em uma vizinhança de z=\pi i.
O único ponto singular do integrando é z=\pi i, onde aparece o fator (z-\pi i)^{-2}.
Como \cos z é analítica no interior de c, podemos aplicar a fórmula integral de Cauchy para derivadas (conforme pedido).
Passo 3
Enunciar a fórmula integral de Cauchy para derivadas (essa é a ferramenta que vamos usar).
Se f é analítica no interior e na fronteira de um contorno fechado C e a está no interior de C, então, para inteiro n\ge 0,
f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a.
n! é o fatorial de n.
O integrando \dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} gera pólos de ordem n+1 em z=a.
Para nosso caso, o integrando tem (z-\pi i)^{-2}, que corresponde a n=1 na fórmula acima.
Passo 4
Aplicar a fórmula com f(z)=\cos z, a=\pi i e n=1. Substituindo na fórmula,