Calcule a integral
\oint_{c} \frac{z^{3}-6}{2 z-i} d z
para o contorno C fechado que envolve z_{0}=i / 2. (Obs.: Nos problemas 5 a 7 use a fórmula integral de Cauchy)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{z^{3}-6}{2 z-i}\,dz
onde o contorno C é fechado e envolve o ponto z_{0}=i/2. Não há outras informações sobre C, por isso vou assumir a orientação positiva (sentido anti-horário), que é a convenção usada na fórmula integral de Cauchy.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{z^{3}-6}{2 z-i}.
  • O contorno C é fechado e envolve o ponto z_{0}=\dfrac{i}{2}.
  • O enunciado indica usar a fórmula integral de Cauchy (portanto o polo simples z=z_{0} está dentro de C e assumimos orientação positiva).

Passo 2

Fatorar o denominador para deixar a integral no formato adequado. Observa-se que
2z-i = 2\left(z-\frac{i}{2}\right).
Logo a integranda pode ser reescrita como
\frac{z^{3}-6}{2 z-i} = \frac{1}{2}\,\frac{z^{3}-6}{z-\dfrac{i}{2}}.
Isto é útil porque a fórmula integral de Cauchy lida diretamente com integrais do tipo \oint \dfrac{f(z)}{z-a}\,dz.

Passo 3

Apresentar a fórmula integral de Cauchy e explicar seus requisitos.
A fórmula integral de Cauchy (caso mais simples) diz o seguinte:
se f é holomorfa (analítica) numa região aberta que contém o interior do contorno fechado C e a é um ponto interior a C, então
\oint_{C} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\,f(a),
onde a orientação de C é positiva (anti-horária).
Explicando cada parte:
  • f(z) é uma função complexa analítica na vizinhança de a.
  • a é o ponto singular do integrando do tipo 1/(z-a).
  • O lado direito 2\pi i\,f(a) significa avaliar f no ponto a e multiplicar por 2\pi i.

Passo 4

Verificar que podemos aplicar a fórmula no nosso caso.
Tomamos f(z)=z^{3}-6 e a=\dfrac{i}{2}. A função f(z)=z^{3}-6 é um polinômio, portanto é inteira (analítica em todo o plano complexa). O denominador já foi escrito como 2\big(z-\dfrac{i}{2}\big), então o integrando é \dfrac{1}{2}\dfrac{f(z)}{z-a}. Como a=\dfrac{i}{2} está dentro do contorno C (dado pelo enunciado) e f é analítica na vizinhança de a, todos os requisitos da fórmula de Cauchy estão satisfeitos.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Cauchy usando a escrita obtida em

Passo 6

Começamos com
\oint_{C} \frac{z^{3}-6}{2 z-i}\,dz = \frac{1}{2}\oint_{C} \frac{f(z)}{z-a}\,dz
com f(z)=z^{3}-6 e a=\dfrac{i}{2}. Pela fórmula de Cauchy,
\oint_{C} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\,f(a).
Logo
\oint_{C} \frac{z^{3}-6}{2 z-i}\,dz = \frac{1}{2}\cdot 2\pi i\,f\!\left(\frac{i}{2}\right) = \pi i\,f\!\left(\frac{i}{2}\right).

Passo 7

Calcular f\!\left(\dfrac{i}{2}\right). Lembrando que f(z)=z^{3}-6,
f\!\left(\frac{i}{2}\right) = \left(\frac{i}{2}\right)^{3} - 6.
Calculemos \left(\dfrac{i}{2}\right)^{3}:
\left(\frac{i}{2}\right)^{3} = \frac{i^{3}}{8} = \frac{-i}{8},
porque i^{2}=-1 e i^{3}=i^{2}\cdot i=-i. Portanto
f\!\left(\frac{i}{2}\right) = -\frac{i}{8} - 6 = -6 - \frac{i}{8}.

Passo 8

Multiplicar por \pi i e simplificar o resultado:
\pi i\,f\!\left(\frac{i}{2}\right) = \pi i\left(-6 - \frac{i}{8}\right).
Distribuindo:
\pi i\left(-6\right) + \pi i\left(-\frac{i}{8}\right) = -6\pi i - \frac{\pi i^{2}}{8}.
Como i^{2}=-1, obtemos
-6\pi i - \frac{\pi(-1)}{8} = -6\pi i + \frac{\pi}{8}.
Reordenando na forma padrão (parte real + parte imaginária):
\frac{\pi}{8} - 6\pi i.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8} - 6\pi i

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