Calcule a integral
para o contorno
fechado que envolve
. (Obs.: Nos problemas 5 a 7 use a fórmula integral de Cauchy)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde o contorno
é fechado e envolve o ponto
. Não há outras informações sobre
, por isso vou assumir a orientação positiva (sentido anti-horário), que é a convenção usada na fórmula integral de Cauchy.
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O contorno
é fechado e envolve o ponto . - O enunciado indica usar a fórmula integral de Cauchy (portanto o polo simples
está dentro de e assumimos orientação positiva).
Passo 2
Fatorar o denominador para deixar a integral no formato adequado. Observa-se que
Logo a integranda pode ser reescrita como
Isto é útil porque a fórmula integral de Cauchy lida diretamente com integrais do tipo
.
Passo 3
Apresentar a fórmula integral de Cauchy e explicar seus requisitos.
A fórmula integral de Cauchy (caso mais simples) diz o seguinte:
se é holomorfa (analítica) numa região aberta que contém o interior do contorno fechado
e
é um ponto interior a
, então
se
onde a orientação de
é positiva (anti-horária).
Explicando cada parte:
-
é uma função complexa analítica na vizinhança de . -
é o ponto singular do integrando do tipo . - O lado direito
significa avaliar no ponto e multiplicar por .
Passo 4
Verificar que podemos aplicar a fórmula no nosso caso.
Tomamos
e
. A função
é um polinômio, portanto é inteira (analítica em todo o plano complexa). O denominador já foi escrito como
, então o integrando é
. Como
está dentro do contorno
(dado pelo enunciado) e
é analítica na vizinhança de
, todos os requisitos da fórmula de Cauchy estão satisfeitos.
Passo 5
Aplicar a fórmula de Cauchy usando a escrita obtida em
Passo 6
Começamos com
com
e
. Pela fórmula de Cauchy,
Logo
Passo 7
Calcular
. Lembrando que
,
Calculemos
:
porque
e
. Portanto
Passo 8
Multiplicar por
e simplificar o resultado:
Distribuindo:
Como
, obtemos
Reordenando na forma padrão (parte real + parte imaginária):