Calcule a integral
\oint_{c} \frac{e^{z}}{z-2} d z
para qualquer contorno fechado que envolve z_{0}=2. (Obs.: Nos problemas 5 a 7 use a fórmula integral de Cauchy)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
\oint_{c} \frac{e^{z}}{z-2}\,dz
onde c é "qualquer contorno fechado que envolve z_{0}=2". Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{e^{z}}{z-2}.
  • O contorno c é fechado e envolve o ponto z_{0}=2.
  • Não foi especificada orientação; tipicamente assume-se orientação positiva (contra‑horária).
    A pergunta é: qual é o valor dessa integral para um contorno fechado que envolve z_{0}=2?

Passo 2

Vou apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada parte dela (a fórmula foi indicada no enunciado). A fórmula integral de Cauchy, na forma mais geral para derivadas, diz:
f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz,
onde:
  • f é uma função analítica (holomorfa) em um domínio que contém o interior do contorno \gamma e o próprio \gamma;
  • a é um ponto no interior de \gamma;
  • n é um inteiro não negativo e f^{(n)} é a n-ésima derivada de f;
  • \gamma é um contorno fechado simples e orientado positivamente (contra‑horário);
  • o lado direito envolve a integral de contorno da função \dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}.
A forma especial para n=0 (caso que interessa aqui) é
f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz,
ou, isolando a integral,
\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=2\pi i\,f(a).
Explicando de forma simples: se \dfrac{f(z)}{z-a} tem um único singular simples em z=a e f é analítica ao redor, a integral em torno de um contorno que rodeia a pega exatamente 2\pi i vezes o valor de f em a.

Passo 3

Agora identifique as peças do problema com a fórmula:
  • Tome f(z)=e^{z}. Essa função é inteira, ou seja, é analítica em todo o plano complexo (não tem singularidades).
  • O ponto a da fórmula corresponde a a=2, pois o denominador é z-2.
  • O integrando do problema é exatamente da forma \dfrac{f(z)}{z-a} com f(z)=e^{z} e a=2.
    Como f é analítica no interior do contorno c (e em todo o plano), as hipóteses da fórmula de Cauchy estão satisfeitas desde que o contorno seja simples, fechado e rodeie a=2.

Passo 4

Aplicando diretamente a fórmula de Cauchy para n=0:
\oint_{c}\frac{e^{z}}{z-2}\,dz = 2\pi i \, e^{2}.
Aqui usei f(2)=e^{2}.

Passo 5

Observações importantes e variações úteis para a prova:
  • A igualdade acima supõe que o contorno c está orientado positivamente (contra‑horário). Se a orientação fosse negativa (horário), o resultado teria sinal trocado, ou seja, -2\pi i e^{2}.
  • Se o contorno c encurta o ponto 2 com índice de enrolamento (winding number) N(c,2) diferente de 1 (por exemplo, o contorno dá várias voltas em torno de 2), a integral vale
\oint_{c}\frac{e^{z}}{z-2}\,dz = 2\pi i\,N(c,2)\,e^{2}.
  • Em problemas de prova é comum que "contorno fechado que envolve z_0" signifique um contorno simples e de orientação positiva com N(c,2)=1, então basta o resultado direto acima.

Passo 6

Recapitulando didaticamente: reconhece-se a integranda como \dfrac{f(z)}{z-a} com f analítica; usa-se a fórmula de Cauchy no caso n=0 que transforma a integral na avaliação de f em a multiplicada por 2\pi i. É um procedimento curto e direto — por isso a fórmula é poderosa na hora da prova. Força aí, que com esse padrão decorado resolve muita integral complexa desse tipo!

Resposta

\;2\pi i\,e^{2}

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