Calcule a integral
para qualquer contorno fechado que envolve
. (Obs.: Nos problemas 5 a 7 use a fórmula integral de Cauchy)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
onde
é "qualquer contorno fechado que envolve
". Informações dadas:
- A função integranda é
. - O contorno
é fechado e envolve o ponto . - Não foi especificada orientação; tipicamente assume-se orientação positiva (contra‑horária).
A pergunta é: qual é o valor dessa integral para um contorno fechado que envolve?
Passo 2
Vou apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada parte dela (a fórmula foi indicada no enunciado). A fórmula integral de Cauchy, na forma mais geral para derivadas, diz:
onde:
-
é uma função analítica (holomorfa) em um domínio que contém o interior do contorno e o próprio ; -
é um ponto no interior de ; -
é um inteiro não negativo e é a -ésima derivada de ; -
é um contorno fechado simples e orientado positivamente (contra‑horário); - o lado direito envolve a integral de contorno da função
.
A forma especial para
(caso que interessa aqui) é
ou, isolando a integral,
Explicando de forma simples: se
tem um único singular simples em
e
é analítica ao redor, a integral em torno de um contorno que rodeia
pega exatamente
vezes o valor de
em
.
Passo 3
Agora identifique as peças do problema com a fórmula:
- Tome
. Essa função é inteira, ou seja, é analítica em todo o plano complexo (não tem singularidades). - O ponto
da fórmula corresponde a , pois o denominador é . - O integrando do problema é exatamente da forma
com e .
Comoé analítica no interior do contorno (e em todo o plano), as hipóteses da fórmula de Cauchy estão satisfeitas desde que o contorno seja simples, fechado e rodeie .
Passo 4
Aplicando diretamente a fórmula de Cauchy para
:
Aqui usei
.
Passo 5
Observações importantes e variações úteis para a prova:
- A igualdade acima supõe que o contorno
está orientado positivamente (contra‑horário). Se a orientação fosse negativa (horário), o resultado teria sinal trocado, ou seja, . - Se o contorno
encurta o ponto com índice de enrolamento (winding number) diferente de (por exemplo, o contorno dá várias voltas em torno de ), a integral vale
- Em problemas de prova é comum que "contorno fechado que envolve
" signifique um contorno simples e de orientação positiva com , então basta o resultado direto acima.
Passo 6
Recapitulando didaticamente: reconhece-se a integranda como
com
analítica; usa-se a fórmula de Cauchy no caso
que transforma a integral na avaliação de
em
multiplicada por
. É um procedimento curto e direto — por isso a fórmula é poderosa na hora da prova. Força aí, que com esse padrão decorado resolve muita integral complexa desse tipo!