Calcule o valor de:
4^{\log _{2} 3}

Passo 1

O problema pede para calcular o valor de 4^{\log_{2} 3}.
Informações dadas:
  • A base da potência é 4.
  • O expoente é \log_{2} 3, ou seja, o logaritmo de 3 na base 2.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa o logaritmo \log_{2} 3. Se definirmos
y = \log_{2} 3,
então, por definição de logaritmo, isso significa que
2^{y} = 3.
Ou seja, \log_{2} 3 é o número que, quando usado como expoente de 2, produz 3.

Passo 3

Reescreve a base 4 como potência de 2, pois 4 é uma potência de 2:
4 = 2^{2}.
Substituindo na expressão original:
4^{\log_{2} 3} = \bigl(2^{2}\bigr)^{\log_{2} 3}.

Passo 4

Usamos a regra de potências que diz (a^{m})^{n} = a^{mn}. Aplicando aqui:
\bigl(2^{2}\bigr)^{\log_{2} 3} = 2^{2\log_{2} 3}.

Passo 5

Agora usamos a propriedade dos logaritmos que transforma multiplicação por constante em potência dentro do logaritmo:
2\log_{2} 3 = \log_{2}\bigl(3^{2}\bigr).
Essa identidade vem de \log_{a}(b^{k}) = k\log_{a} b.

Passo 6

Substituindo na potência:
2^{2\log_{2} 3} = 2^{\log_{2}(3^{2})}.
Há uma identidade fundamental que diz a^{\log_{a} x} = x (o exponencial e o logaritmo são funções inversas). Aplicando-a com a=2 e x=3^{2}, obtemos:
2^{\log_{2}(3^{2})} = 3^{2}.

Passo 7

Finalmente, calcule 3^{2}:
3^{2} = 9.

Resposta

9

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