Calcule o valor de m e n para que o vértice da parábola de equação x^{2}-m x+n seja (2,-1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de m e n de modo que o vértice da parábola de equação \;x^{2}-m x+n\; seja o ponto \;(2,-1).\n
Informações dadas:
  • A parábola tem equação \;x^{2}-m x+n\;.
  • O vértice da parábola deve ser \;(2,-1), (ou seja, a coordenada x do vértice é 2 e a coordenada y do vértice é -1).\n
    O objetivo é encontrar os números \;m\; e \;n\; que fazem isso acontecer.

Passo 2

Explicação didática: como encontrar o vértice de uma parábola dada por um polinômio quadrático.\n
Considere uma função quadrática geral \;a x^{2}+b x+c\; com a\neq0. Uma forma muito útil é escrever a parábola na forma “vértice” (ou canônica) completando o quadrado. Vamos fazer isso passo a passo para entender de onde vem a fórmula do vértice.\n
Partimos de
a x^{2}+b x+c.
Primeiro fatoramos a dos dois primeiros termos:
a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c.
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. A ideia é transformar x^{2}+\frac{b}{a}x em \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} menos o termo extra que apareceu. Observe:
x^{2}+\frac{b}{a}x = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - \left(\frac{b}{2a}\right)^{2}.
Substituindo de volta:
a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - \left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right] + c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - a\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} + c.
Calculando o termo constante:
a\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} = a\cdot\frac{b^{2}}{4a^{2}} = \frac{b^{2}}{4a}.
Então a forma final é
a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^{2}}{4a} + c.
Nessa forma, fica claro que o vértice tem abscissa
x_{v} = -\frac{b}{2a},
e ordenada
y_{v} = -\frac{b^{2}}{4a} + c.
Essa é a origem da famosa fórmula x_{v}=-\dfrac{b}{2a}. Agora sabemos como relacionar os coeficientes a,b,c com as coordenadas do vértice.

Passo 3

Aplicando a ideia acima ao polinômio dado \;x^{2}-m x+n\;: identifique os coeficientes comparando com a x^{2}+b x+c.\n
Temos:
a = 1,\qquad b = -m,\qquad c = n.
Usando a fórmula da abscissa do vértice \;x_{v} = -\dfrac{b}{2a}\;, calculamos para este caso:
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-m}{2\cdot 1} = \frac{m}{2}.
Como o vértice dado tem abscissa \;2\;, impomos
\frac{m}{2} = 2.
Resolvendo essa equação para m:
m = 2\cdot 2 = 4.

Passo 4

Agora vamos usar a coordenada y do vértice para encontrar n. Uma forma direta é avaliar o polinômio em x=2 (já que o vértice tem x=2) e igualar ao y-dado -1.\n
A função é \;f(x)=x^{2}-m x+n. Então
f(2) = 2^{2} - m\cdot 2 + n = 4 - 2m + n.
Queremos f(2) = -1. Substituímos m=4 (achado no passo anterior) e impomos:
4 - 2\cdot 4 + n = -1.
Calcule o lado esquerdo:
4 - 8 + n = -4 + n.
Igualando a -1:
-4 + n = -1.
Somando 4 em ambos os lados:
n = -1 + 4 = 3.

Passo 5

Checagem rápida para ter confiança: com m=4 e n=3 a parábola é \;x^{2}-4x+3.\n
Podemos completar o quadrado ou simplesmente verificar que a abscissa do vértice é m/2 = 4/2 = 2 e o valor em x=2 é
2^{2}-4\cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1,
que é a ordenada desejada. Portanto os valores encontrados satisfazem o enunciado.

Resposta

m=4\n
n=3

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