Calcule o valor de
e
para que o vértice da parábola de equação
seja
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
e
de modo que o vértice da parábola de equação
seja o ponto
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A parábola tem equação
. - O vértice da parábola deve ser
, (ou seja, a coordenada do vértice é e a coordenada do vértice é ).\n
O objetivo é encontrar os númerose que fazem isso acontecer.
Passo 2
Explicação didática: como encontrar o vértice de uma parábola dada por um polinômio quadrático.\n
Considere uma função quadrática geral com
. Uma forma muito útil é escrever a parábola na forma “vértice” (ou canônica) completando o quadrado. Vamos fazer isso passo a passo para entender de onde vem a fórmula do vértice.\n
Partimos de
Considere uma função quadrática geral
Partimos de
Primeiro fatoramos
dos dois primeiros termos:
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. A ideia é transformar
em
menos o termo extra que apareceu. Observe:
Substituindo de volta:
Calculando o termo constante:
Então a forma final é
Nessa forma, fica claro que o vértice tem abscissa
e ordenada
Essa é a origem da famosa fórmula
. Agora sabemos como relacionar os coeficientes
com as coordenadas do vértice.
Passo 3
Aplicando a ideia acima ao polinômio dado
: identifique os coeficientes comparando com
.\n
Temos:
Temos:
Usando a fórmula da abscissa do vértice
, calculamos para este caso:
Como o vértice dado tem abscissa
, impomos
Resolvendo essa equação para
:
Passo 4
Agora vamos usar a coordenada
do vértice para encontrar
. Uma forma direta é avaliar o polinômio em
(já que o vértice tem
) e igualar ao
-dado
.\n
A função é . Então
A função é
Queremos
. Substituímos
(achado no passo anterior) e impomos:
Calcule o lado esquerdo:
Igualando a
:
Somando
em ambos os lados:
Passo 5
Checagem rápida para ter confiança: com
e
a parábola é
.\n
Podemos completar o quadrado ou simplesmente verificar que a abscissa do vértice é e o valor em
é
Podemos completar o quadrado ou simplesmente verificar que a abscissa do vértice é
que é a ordenada desejada. Portanto os valores encontrados satisfazem o enunciado.