A trajetória de um projétil lançado por um canhão, num local plano e horizontal, é dada pela função
A que distância do canhão caiu o projétil, considerando-se que as unidades são dadas em quilômetros?
Passo 1
O enunciado dá a trajetória do projétil por meio da função
As unidades são quilômetros. A pergunta é: a que distância do canhão o projétil caiu?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
dá a altura do projétil (em km) quando este está a uma distância horizontal do canhão (em km). - Queremos o ponto onde o projétil volta ao solo, isto é, onde a altura é zero: buscar
tal que . - Normalmente há duas raízes: uma é a posição inicial (
) e a outra é a posição de queda ( ). Vamos procurar essa raiz positiva.
Passo 2
Entendendo o que significa resolver
. Quando a altura é zero, o projétil está no solo. Então precisamos resolver a equação
Isto é uma equação quadrática em
. Uma maneira prática de resolver quadráticas com coeficientes racionais é fatorar ou eliminar denominadores antes de manipular.
Passo 3
Eliminar denominadores para ficar com números inteiros facilita os cálculos. Multiplicamos ambos os lados da equação por
(que é o mínimo comum dos denominadores
e
):
A conta do lado esquerdo simplifica assim:
Calcule
: é
. Logo a equação vira
Passo 4
Agora fatoramos a expressão do lado esquerdo extraindo o fator comum
:
Quando um produto é zero, pelo princípio do zero-produto, pelo menos um dos fatores é zero. Assim temos duas possibilidades:
Passo 5
Resolver a segunda possibilidade
. Isolando
:
Portanto as duas raízes da equação são
e
.
Passo 6
Interpretando as raízes:
é o ponto de lançamento (o canhão), e
é o outro ponto onde a altura volta a ser zero, ou seja, onde o projétil toca o solo novamente. Como queremos a distância do canhão até o ponto de queda, escolhemos a raiz positiva
.
Passo 7
Verificação rápida: substituir
na função para checar que realmente dá zero:
Confere.