A trajetória de um projétil lançado por um canhão, num local plano e horizontal, é dada pela função
f(x)=\frac{-x^{2}}{32}+\frac{x}{8}
A que distância do canhão caiu o projétil, considerando-se que as unidades são dadas em quilômetros?

Passo 1

O enunciado dá a trajetória do projétil por meio da função
f(x)=\frac{-x^{2}}{32}+\frac{x}{8}
As unidades são quilômetros. A pergunta é: a que distância do canhão o projétil caiu?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função f(x) dá a altura do projétil (em km) quando este está a uma distância horizontal x do canhão (em km).
  • Queremos o ponto onde o projétil volta ao solo, isto é, onde a altura é zero: buscar x tal que f(x)=0.
  • Normalmente há duas raízes: uma é a posição inicial ( x=0) e a outra é a posição de queda ( x>0). Vamos procurar essa raiz positiva.

Passo 2

Entendendo o que significa resolver f(x)=0. Quando a altura é zero, o projétil está no solo. Então precisamos resolver a equação
\frac{-x^{2}}{32}+\frac{x}{8}=0.
Isto é uma equação quadrática em x. Uma maneira prática de resolver quadráticas com coeficientes racionais é fatorar ou eliminar denominadores antes de manipular.

Passo 3

Eliminar denominadores para ficar com números inteiros facilita os cálculos. Multiplicamos ambos os lados da equação por 32 (que é o mínimo comum dos denominadores 32 e 8):
32\cdot\left(\frac{-x^{2}}{32}+\frac{x}{8}\right)=32\cdot 0.
A conta do lado esquerdo simplifica assim:
- x^{2} + 32\cdot\frac{x}{8} = 0.
Calcule 32\cdot\frac{x}{8}: é 4x. Logo a equação vira
- x^{2} + 4x = 0.

Passo 4

Agora fatoramos a expressão do lado esquerdo extraindo o fator comum x:
- x^{2} + 4x = x(-x + 4)=0.
Quando um produto é zero, pelo princípio do zero-produto, pelo menos um dos fatores é zero. Assim temos duas possibilidades:
x=0 \quad\text{ou}\quad -x+4=0.

Passo 5

Resolver a segunda possibilidade -x+4=0. Isolando x:
-x+4=0 \Rightarrow -x=-4 \Rightarrow x=4.
Portanto as duas raízes da equação são x=0 e x=4.

Passo 6

Interpretando as raízes: x=0 é o ponto de lançamento (o canhão), e x=4 é o outro ponto onde a altura volta a ser zero, ou seja, onde o projétil toca o solo novamente. Como queremos a distância do canhão até o ponto de queda, escolhemos a raiz positiva x=4.

Passo 7

Verificação rápida: substituir x=4 na função para checar que realmente dá zero:
f(4)=\frac{-(4)^{2}}{32}+\frac{4}{8}=\frac{-16}{32}+\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0.
Confere.

Resposta

4\\ \text{km}

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