Exercício 1: quais devem ser os valores de \mathbf{p} para que as parábolas de equação (p-3) x^{2}-5 x-24 tenham concavidade voltada para cima?

Passo 1

O enunciado pede: “quais devem ser os valores de p para que as parábolas de equação (p-3)x^{2}-5x-24 tenham concavidade voltada para cima?”\n
Informações dadas e relevantes: \n
  • A expressão geral dada é (p-3)x^{2}-5x-24.\n
  • O coeficiente que multiplica x^{2} nessa expressão é p-3.\n
  • Devemos determinar os valores de p (assumindo p real) que fazem com que a curva seja uma parábola com concavidade para cima.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): para uma função quadrática genérica \,ax^{2}+bx+c\,, a “concavidade” (ou direção de abertura) da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente a.\n
  • Se a>0, a parábola “abre para cima” (tem um formato de U) e o vértice é um mínimo.\n
  • Se a<0, a parábola “abre para baixo” (tem um formato de ∩) e o vértice é um máximo.\n
    Motivação simples: a segunda derivada de \,ax^{2}+bx+c\, é \,2a\,. A segunda derivada indica curvatura: \,2a>0\Rightarrow curva côncava para cima; \,2a<0\Rightarrow curva côncava para baixo. Portanto basta olhar o sinal de a.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso polinômio: o coeficiente a é exatamente p-3 (pois a expressão é (p-3)x^{2}-5x-24).\n
Para que a parábola abra para cima precisamos de
p-3>0.

Passo 4

Resolvendo a desigualdade passo a passo: somamos 3 em ambos os lados da desigualdade
p-3>0 \quad\Longrightarrow\quad p>3.
Isso significa que qualquer p maior que 3 faz com que o coeficiente de x^{2} seja positivo, logo a parábola abre para cima.\n
Observação importante: se p=3 então p-3=0 e a função deixa de ser quadrática (fica linear -5x-24), portanto não é uma parábola — mas a condição p>3 já exclui esse caso.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar a ideia:\n
  • Se escolhemos p=4, então o coeficiente é p-3=1>0 e a parábola abre para cima.\n
  • Se escolhemos p=2, então o coeficiente é p-3=-1<0 e a parábola abre para baixo.\n
    Esses exemplos confirmam o critério que usamos.

Resposta

p>3

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