Exercício 1: quais devem ser os valores de
para que as parábolas de equação
tenham concavidade voltada para cima?
Passo 1
O enunciado pede: “quais devem ser os valores de
para que as parábolas de equação
tenham concavidade voltada para cima?”\n
Informações dadas e relevantes: \n
Informações dadas e relevantes: \n
- A expressão geral dada é
.\n - O coeficiente que multiplica
nessa expressão é .\n - Devemos determinar os valores de
(assumindo real) que fazem com que a curva seja uma parábola com concavidade para cima.
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): para uma função quadrática genérica
, a “concavidade” (ou direção de abertura) da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente
.\n
- Se
, a parábola “abre para cima” (tem um formato de U) e o vértice é um mínimo.\n - Se
, a parábola “abre para baixo” (tem um formato de ∩) e o vértice é um máximo.\n
Motivação simples: a segunda derivada deé . A segunda derivada indica curvatura: curva côncava para cima; curva côncava para baixo. Portanto basta olhar o sinal de .
Passo 3
Aplicando o conceito ao nosso polinômio: o coeficiente
é exatamente
(pois a expressão é
).\n
Para que a parábola abra para cima precisamos de
Para que a parábola abra para cima precisamos de
Passo 4
Resolvendo a desigualdade passo a passo: somamos
em ambos os lados da desigualdade
Isso significa que qualquer
maior que
faz com que o coeficiente de
seja positivo, logo a parábola abre para cima.\n
Observação importante: se então
e a função deixa de ser quadrática (fica linear
), portanto não é uma parábola — mas a condição
já exclui esse caso.
Observação importante: se
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar a ideia:\n
- Se escolhemos
, então o coeficiente é e a parábola abre para cima.\n - Se escolhemos
, então o coeficiente é e a parábola abre para baixo.\n
Esses exemplos confirmam o critério que usamos.