Calcule o valor médio e o valor eficaz (mostre os cálculos!) para os seguintes sinais:
Onda quadrada de amplitude
(zero-pico), com nível DC;
Onda quadrada de amplitude
Passo 1
O que o problema pede: calcular o valor médio e o valor eficaz (RMS) de uma onda quadrada de amplitude
(amplitude “zero‑pico”, ou seja, entre
e
) quando essa onda possui um nível DC (deslocamento contínuo).\n
Informações relevantes dadas / assumidas:
Informações relevantes dadas / assumidas:
- A amplitude da componente alternada é
: a onda alterna entre e (zero‑pico). - Há um nível DC, que vou chamar de
. - A forma de onda é periódica com período
. - Vou introduzir a notação do ciclo útil (duty cycle)
(fração do período em que a onda está no nível alto ). Isso permite resultados gerais; o caso comum (50%) será apresentado depois. - O que precisamos encontrar:
valor médio e valor eficaz (RMS) em função de e .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que usaremos (com explicação):
- Valor médio (média sobre um período): é a média aritmética do sinal ao longo de um período. A definição matemática é
onde
é a tensão no instante
, e
é o período.
- Valor eficaz (RMS — root mean square): é a raiz quadrada da média do quadrado do sinal:
Explicação das variáveis:
é o sinal total (inclui DC),
é a componente contínua,
é a amplitude do pulso alto (quando presente), e
é a fração do período em que o sinal fica em
(o restante do tempo o pulso vale zero, além do DC).
Passo 3
Modelagem da forma de onda (peça‑a‑peça):
Vou escrever o sinal total como soma do nível DC com a componente quadrada:
Vou escrever o sinal total
onde
é a onda quadrada que vale
durante um intervalo de duração
e vale
durante o restante
. Num período escolhido
podemos escrever, por exemplo,
Passo 4
Cálculo do valor médio passo a passo:
Usamos a definição
Usamos a definição
Dividimos a integral em dois trechos (alto e baixo):
Agora calculamos cada integral (são integrais de constantes):
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Substituindo:
Fatorando
e simplificando:
Agora desenvolvemos:
Portanto:
Interpretação rápida: o valor médio é a componente DC mais a fração do tempo que o pulso alto contribui (
).
Passo 5
Cálculo do valor eficaz (RMS) passo a passo:
Usamos a definição
Usamos a definição
Novamente separamos os dois trechos:
Calculemos as integrais (são constantes dentro de cada trecho):
- Primeira:
- Segunda:
Substituindo e tirando fator:
Agora expandimos o quadrado e simplificamos:
Os termos com
se cancelam parcialmente:
Logo
Comentário: essa expressão dá a contribuição da componente DC (
), do cruzamento DC×AC (
) e da própria componente pulsada (
).
Passo 6
Casos particulares rápidos (úteis na prova):
- Se
(sem deslocamento DC) então
No caso muito comum
(50%):
Essas fórmulas são fáceis de memorizar: média = DC + fração do pico; RMS = raiz da média dos quadrados (aplicar a definição e separar intervalos).
Resposta
Valor médio:
\n
Valor eficaz: \n
Para :
\n
Para :
Valor eficaz:
Para
Para