Calcule o valor médio e o valor eficaz (mostre os cálculos!) para os seguintes sinais:
Onda quadrada de amplitude V_{o} (zero-pico), com nível DC;

Passo 1

O que o problema pede: calcular o valor médio e o valor eficaz (RMS) de uma onda quadrada de amplitude \,V_{o}\, (amplitude “zero‑pico”, ou seja, entre 0 e V_{o}) quando essa onda possui um nível DC (deslocamento contínuo).\n
Informações relevantes dadas / assumidas:
  • A amplitude da componente alternada é \,V_{o}\,: a onda alterna entre 0 e V_{o} (zero‑pico).
  • Há um nível DC, que vou chamar de \,V_{\text{dc}}\,.
  • A forma de onda é periódica com período \,T\,.
  • Vou introduzir a notação do ciclo útil (duty cycle) \,D\, (fração do período em que a onda está no nível alto V_{o}). Isso permite resultados gerais; o caso comum D=\tfrac{1}{2} (50%) será apresentado depois.
  • O que precisamos encontrar: valor médio e valor eficaz (RMS) em função de \,V_{o}\,, V_{\text{dc}} e D.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usaremos (com explicação):
  • Valor médio (média sobre um período): é a média aritmética do sinal ao longo de um período. A definição matemática é
\overline{v} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt,
onde \,v(t)\, é a tensão no instante t, e \,T é o período.
  • Valor eficaz (RMS — root mean square): é a raiz quadrada da média do quadrado do sinal:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,dt}.
Explicação das variáveis: \,v(t)\, é o sinal total (inclui DC), \,V_{\text{dc}}\, é a componente contínua, \,V_{o}\, é a amplitude do pulso alto (quando presente), e \,D\in[0,1] é a fração do período em que o sinal fica em V_{o} (o restante do tempo o pulso vale zero, além do DC).

Passo 3

Modelagem da forma de onda (peça‑a‑peça):
Vou escrever o sinal total \,v(t)\, como soma do nível DC com a componente quadrada:
v(t)=V_{\text{dc}}+v_{\text{sq}}(t),
onde \,v_{\text{sq}}(t)\, é a onda quadrada que vale \,V_{o}\, durante um intervalo de duração D\,T e vale 0 durante o restante (1-D)T. Num período escolhido [0,T) podemos escrever, por exemplo,
v(t)=\begin{cases} V_{\text{dc}}+V_{o}, & 0\le t < D\,T,\\[4pt] V_{\text{dc}}, & D\,T \le t < T. \end{cases}]

Passo 4

Cálculo do valor médio passo a passo:
Usamos a definição
\overline{v}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt.
Dividimos a integral em dois trechos (alto e baixo):
\overline{v}=\frac{1}{T}\left(\int_{0}^{D T} (V_{\text{dc}}+V_{o})\,dt + \int_{D T}^{T} V_{\text{dc}}\,dt\right).
Agora calculamos cada integral (são integrais de constantes):
  • Primeira integral: \int_{0}^{D T} (V_{\text{dc}}+V_{o})\,dt = (V_{\text{dc}}+V_{o})\cdot D T.
  • Segunda integral: \int_{D T}^{T} V_{\text{dc}}\,dt = V_{\text{dc}}\cdot (1-D)T.
    Substituindo:
\overline{v}=\frac{1}{T}\left[(V_{\text{dc}}+V_{o})D T + V_{\text{dc}}(1-D)T\right].
Fatorando T e simplificando:
\overline{v}=(V_{\text{dc}}+V_{o})D + V_{\text{dc}}(1-D).
Agora desenvolvemos:
\overline{v}=V_{\text{dc}}D + V_{o}D + V_{\text{dc}}(1-D)=V_{\text{dc}}(D+1-D)+V_{o}D.
Portanto:
\overline{v}=V_{\text{dc}} + D\,V_{o}.
Interpretação rápida: o valor médio é a componente DC mais a fração do tempo que o pulso alto contribui ( D\,V_{o}).

Passo 5

Cálculo do valor eficaz (RMS) passo a passo:
Usamos a definição
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,dt}.
Novamente separamos os dois trechos:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\left(\int_{0}^{D T} (V_{\text{dc}}+V_{o})^2\,dt + \int_{D T}^{T} V_{\text{dc}}^2\,dt\right)}.
Calculemos as integrais (são constantes dentro de cada trecho):
  • Primeira: \int_{0}^{D T} (V_{\text{dc}}+V_{o})^2\,dt = (V_{\text{dc}}+V_{o})^2\cdot D T.
  • Segunda: \int_{D T}^{T} V_{\text{dc}}^2\,dt = V_{\text{dc}}^2\cdot (1-D)T.
    Substituindo e tirando fator T:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{(V_{\text{dc}}+V_{o})^2 D + V_{\text{dc}}^2(1-D)}.
Agora expandimos o quadrado e simplificamos:
(V_{\text{dc}}+V_{o})^2 D + V_{\text{dc}}^2(1-D) = D(V_{\text{dc}}^2 + 2V_{\text{dc}}V_{o}+V_{o}^2) + V_{\text{dc}}^2 - D V_{\text{dc}}^2.
Os termos com D V_{\text{dc}}^2 se cancelam parcialmente:
= V_{\text{dc}}^2 + 2D V_{\text{dc}} V_{o} + D V_{o}^2.
Logo
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\,V_{\text{dc}}^2 + 2D V_{\text{dc}} V_{o} + D V_{o}^2\,}.
Comentário: essa expressão dá a contribuição da componente DC ( V_{\text{dc}}^2), do cruzamento DC×AC ( 2D V_{\text{dc}}V_{o}) e da própria componente pulsada ( D V_{o}^2).

Passo 6

Casos particulares rápidos (úteis na prova):
  • Se \,V_{\text{dc}}=0 (sem deslocamento DC) então
\overline{v}=D V_{o},\qquad v_{\mathrm{rms}}=V_{o}\sqrt{D}.
No caso muito comum D=\tfrac{1}{2} (50%):
\overline{v}=V_{\text{dc}}+\frac{V_{o}}{2},
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{V_{\text{dc}}^2+V_{\text{dc}}V_{o}+\frac{V_{o}^2}{2}}.
Essas fórmulas são fáceis de memorizar: média = DC + fração do pico; RMS = raiz da média dos quadrados (aplicar a definição e separar intervalos).

Resposta

Valor médio: \overline{v}=V_{\text{dc}}+D\,V_{o}\n
Valor eficaz: v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\,V_{\text{dc}}^2+2D V_{\text{dc}}V_{o}+D V_{o}^2\,}\n
Para D=\tfrac{1}{2}: \overline{v}=V_{\text{dc}}+\tfrac{V_{o}}{2}\n
Para D=\tfrac{1}{2}: v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{V_{\text{dc}}^2+V_{\text{dc}}V_{o}+\tfrac{V_{o}^2}{2}}

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