Calcule o valor médio e o valor eficaz (mostre os cálculos!) para os seguintes sinais:
v(t)=V_{D C}+V_{A C} \cos (\omega t+\theta), para todo t real (Tensão \left.\mathrm{AC}+\mathrm{DC}\right). Dica: utilize o resultado do exercício \mathbf{4 . 2};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sinal v(t)=V_{D C}+V_{A C}\cos(\omega t+\theta) (para todo t real): calcular o valor médio e o valor eficaz (RMS).
Informações dadas que vamos usar:
  • O sinal é composto por uma componente contínua V_{D C} e uma componente senoidal de amplitude V_{A C}, frequência angular \omega e fase \theta.
  • O sinal é periódico com período \;T=\dfrac{2\pi}{\omega}\; (porque a parte senoidal tem período 2\pi/\omega).
    Objetivo claro: obter \overline{v} (valor médio) e v_{\mathrm{rms}} (valor eficaz), mostrando todos os cálculos passo a passo.

Passo 2

Definição do valor médio para um sinal periódico:
\overline{v}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt.
Aqui vamos integrar sobre um período T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Essa fórmula significa: soma (integral) do sinal ao longo de um período, dividida pelo comprimento do período — é a média temporal sobre um ciclo.

Passo 3

Calculemos \overline{v}. Substituindo v(t) na definição:
\overline{v}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\bigl(V_{D C}+V_{A C}\cos(\omega t+\theta)\bigr)\,dt.
Usando linearidade da integral (podemos separar termos):
\overline{v}=\frac{1}{T}\left(\int_{0}^{T}V_{D C}\,dt + \int_{0}^{T}V_{A C}\cos(\omega t+\theta)\,dt\right).
Avaliações:
  • \displaystyle \int_{0}^{T}V_{D C}\,dt = V_{D C}\,T porque V_{D C} é constante.
  • \displaystyle \int_{0}^{T}\cos(\omega t+\theta)\,dt = \frac{1}{\omega}\bigl[\sin(\omega t+\theta)\bigr]_{0}^{T} = \frac{1}{\omega}\bigl(\sin(\omega T+\theta)-\sin(\theta)\bigr). Como \omega T=2\pi, temos \sin(\omega T+\theta)=\sin(2\pi+\theta)=\sin\theta. Portanto a diferença é zero e a integral da cosseno sobre um período é zero.
    Com isso:
\overline{v}=\frac{1}{T}\bigl(V_{D C}\,T + V_{A C}\cdot 0\bigr)=V_{D C}.
Interpretação rápida: a média de uma senóide sobre um período é zero, então o único contributo para a média é a componente DC.

Passo 4

Definição do valor eficaz (RMS) para sinal periódico:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)^{2}\,dt }.
Isto é: quadramos o sinal, fazemos a média do quadrado ao longo de um período e tiramos raiz quadrada. Vamos calcular a integral do quadrado.

Passo 5

Primeiro expandimos o quadrado:
v(t)^{2}=\bigl(V_{D C}+V_{A C}\cos(\omega t+\theta)\bigr)^{2}=V_{D C}^{2}+2V_{D C}V_{A C}\cos(\omega t+\theta)+V_{A C}^{2}\cos^{2}(\omega t+\theta).
Portanto
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v(t)^{2}\,dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{D C}^{2}\,dt + \frac{1}{T}\int_{0}^{T}2V_{D C}V_{A C}\cos(\omega t+\theta)\,dt + \frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{A C}^{2}\cos^{2}(\omega t+\theta)\,dt.

Passo 6

Avaliação termo a termo:
  1. \displaystyle \frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{D C}^{2}\,dt = V_{D C}^{2}. (constante)
  2. \displaystyle \frac{1}{T}\int_{0}^{T}2V_{D C}V_{A C}\cos(\omega t+\theta)\,dt = 2V_{D C}V_{A C}\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(\omega t+\theta)\,dt = 0, porque já vimos que a integral da cosseno sobre um período é zero. Assim o termo misto some.
  3. Para o último termo usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Aplicando com x=\omega t+\theta:
\cos^{2}(\omega t+\theta)=\frac{1+\cos(2\omega t+2\theta)}{2}.
Então
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{A C}^{2}\cos^{2}(\omega t+\theta)\,dt = V_{A C}^{2}\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1+\cos(2\omega t+2\theta)}{2}\,dt.
A integral de 1/2 sobre T 1/2. A integral de \cos(2\omega t+2\theta) sobre T é zero porque \cos(2\omega t+2\theta) tem período \pi/\omega e T=2\pi/\omega é um múltiplo inteiro do seu período, logo sua média sobre T é zero. Assim obtemos
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{A C}^{2}\cos^{2}(\omega t+\theta)\,dt = V_{A C}^{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{V_{A C}^{2}}{2}.

Passo 7

Somando os termos obtidos para a média do quadrado:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v(t)^{2}\,dt = V_{D C}^{2} + 0 + \frac{V_{A C}^{2}}{2}=V_{D C}^{2}+\frac{V_{A C}^{2}}{2}.
Portanto o valor eficaz é
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{V_{D C}^{2}+\frac{V_{A C}^{2}}{2}}.
Observações úteis: a fase \theta desapareceu do resultado final — o RMS não depende da fase. Isso faz sentido porque média de termos mistos envolvendo \cos é zero sobre um período.

Resposta

Valor médio: \displaystyle \overline{v}=V_{D C}
Valor eficaz: \displaystyle v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{V_{D C}^{2}+\frac{V_{A C}^{2}}{2}}

Exercícios relacionados