Calcule o valor médio e o valor eficaz (mostre os cálculos!) para os seguintes sinais:
, para todo
real (Tensão
. Dica: utilize o resultado do exercício
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sinal
(para todo
real): calcular o valor médio e o valor eficaz (RMS).
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- O sinal é composto por uma componente contínua
e uma componente senoidal de amplitude , frequência angular e fase . - O sinal é periódico com período
(porque a parte senoidal tem período ).
Objetivo claro: obter(valor médio) e (valor eficaz), mostrando todos os cálculos passo a passo.
Passo 2
Definição do valor médio para um sinal periódico:
Aqui vamos integrar sobre um período
. Essa fórmula significa: soma (integral) do sinal ao longo de um período, dividida pelo comprimento do período — é a média temporal sobre um ciclo.
Passo 3
Calculemos
. Substituindo
na definição:
Usando linearidade da integral (podemos separar termos):
Avaliações:
-
porque é constante. -
Como , temos . Portanto a diferença é zero e a integral da cosseno sobre um período é zero.
Com isso:
Interpretação rápida: a média de uma senóide sobre um período é zero, então o único contributo para a média é a componente DC.
Passo 4
Definição do valor eficaz (RMS) para sinal periódico:
Isto é: quadramos o sinal, fazemos a média do quadrado ao longo de um período e tiramos raiz quadrada. Vamos calcular a integral do quadrado.
Passo 5
Primeiro expandimos o quadrado:
Portanto
Passo 6
Avaliação termo a termo:
-
(constante) -
porque já vimos que a integral da cosseno sobre um período é zero. Assim o termo misto some. - Para o último termo usamos a identidade trigonométrica
Aplicando com
:
Então
A integral de
sobre
dá
. A integral de
sobre
é zero porque
tem período
e
é um múltiplo inteiro do seu período, logo sua média sobre
é zero. Assim obtemos
Passo 7
Somando os termos obtidos para a média do quadrado:
Portanto o valor eficaz é
Observações úteis: a fase
desapareceu do resultado final — o RMS não depende da fase. Isso faz sentido porque média de termos mistos envolvendo
é zero sobre um período.
Resposta
Valor médio:
Valor eficaz:
Valor eficaz: