Calcule o valor presente e o valor futuro do seguinte fluxo de caixa: 4 prestações mensais e sucessivas crescentes em PA com razão de \mathrm{R} \ 2.000,00 e taxa efetiva de1,5 %$ ao mês.

Passo 1

O enunciado dá: 4 prestações mensais e sucessivas, crescentes em progressão aritmética (PA) com razão \mathrm{R}\$\,2{.}000{,}00 e taxa efetiva de 1{,}5\% ao mês. Vou tomar a interpretação usual (e necessária para resolver numericamente): a primeira prestação vale \mathrm{R}\$\,2{.}000{,}00 e a razão (diferença) entre termos é \mathrm{R}\$\,2{.}000{,}00. Assim os pagamentos são
P_1=\mathrm{R}\$\,2{.}000{,}00,\;P_2=\mathrm{R}\$\,4{.}000{,}00,\;P_3=\mathrm{R}\$\,6{.}000{,}00,\;P_4=\mathrm{R}\$\,8{.}000{,}00.
Dados numéricos:
n=4,\qquad i=1{,}5\% = 0{,}015,\qquad a_1=\mathrm{R}\$\,2{.}000,\qquad d=\mathrm{R}\$\,2{.}000.

Passo 2

Primeiro definimos o fator de desconto por período
v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1{,}015}.
Também precisamos de (1+i)^k e de v^k para k=1,2,3,4. Calculamos:
(1+i)^1=1{,}015,\quad (1+i)^2=1{,}030225,\quad (1+i)^3=1{,}045678375,\quad (1+i)^4=1{,}061363550625.
Portanto
v=\frac{1}{1{,}015}\approx 0{,}9852216748768473,
v^2=\frac{1}{1{,}030225}\approx 0{,}970661297551,
v^3=\frac{1}{1{,}045678375}\approx 0{,}956317066545,
v^4=\frac{1}{1{,}061363550625}\approx 0{,}942184302546825.
(esses valores foram obtidos usando as potências de 1{,}015 acima e invertendo — preservamos precisão suficiente para centavos.)

Passo 3

Estratégia para o valor presente (PV): somar cada pagamento trazido a valor 0 (descontado):
PV=\sum_{k=1}^{4} \frac{P_k}{(1+i)^k}.
Aqui P_k=a_1+(k-1)d. Como os termos são poucos (4), é direto somar cada parcela descontada. Vou também mostrar uma forma geral (útil na prova): decompor o fluxo em uma anuidade constante de valor a_1 mais um gradiente aritmético de termos (k-1)d. Mas para clareza, vou calcular somando parcela a parcela.

Passo 4

Cálculo parcela a parcela (valor presente):
Descontando cada pagamento usando os v^k do Passo 2,
\begin{aligned} \text{Termo 1: }&\frac{P_1}{(1+i)^1}=2000\cdot v \approx 2000\cdot 0{,}9852216748768473 \approx 1970{,}4433497536946,\\[4pt] \text{Termo 2: }&\frac{P_2}{(1+i)^2}=4000\cdot v^2 \approx 4000\cdot 0{,}970661297551 \approx 3882{,}645190204,\\[4pt] \text{Termo 3: }&\frac{P_3}{(1+i)^3}=6000\cdot v^3 \approx 6000\cdot 0{,}956317066545 \approx 5737{,}90239927,\\[4pt] \text{Termo 4: }&\frac{P_4}{(1+i)^4}=8000\cdot v^4 \approx 8000\cdot 0{,}942184302546825 \approx 7537{,}4744203746. \end{aligned}]

Passo 5

Somando os termos do Passo 4 obtemos o valor presente:
\begin{aligned} PV &\approx 1970{,}4433497537 + 3882{,}645190204 + 5737{,}90239927 + 7537{,}4744203746\\\ &\approx 19{.}128{,}465359603. \end{aligned}
Arredondando para centavos:
PV \approx \mathrm{R}\$\,19{.}128{,}47.

Passo 6

Agora calculamos o valor futuro ao final do período n=4 (ou seja, o valor acumulado imediatamente após o pagamento 4). Para isso acumulamos cada pagamento até o instante 4:
FV=\sum_{k=1}^{4} P_k(1+i)^{4-k}.
Como P_1=2000,P_2=4000,P_3=6000,P_4=8000, temos
\begin{aligned} \text{Termo 1: }&2000(1+i)^3=2000\cdot 1{,}045678375=2091{,}35675,\\[4pt] \text{Termo 2: }&4000(1+i)^2=4000\cdot 1{,}030225=4120{,}90000,\\[4pt] \text{Termo 3: }&6000(1+i)=6000\cdot 1{,}015=6090{,}00000,\\[4pt] \text{Termo 4: }&8000(1+i)^0=8000. \end{aligned}]

Passo 7

Somando os termos acumulados:
\begin{aligned} FV &= 2091{,}35675 + 4120{,}90 + 6090 + 8000\\\ &= 20{.}302{,}25675. \end{aligned}
Arredondando para centavos:
FV \approx \mathrm{R}\$\,20{.}302{,}26.
(Confirmação rápida: FV = PV\cdot(1+i)^4 \approx 19{.}128{,}465359603\cdot 1{,}061363550625 \approx 20{.}302{,}25675, mesma coisa.)

Resposta

\mathrm{PV}\approx\mathrm{R}\$\,19{.}128{,}47
\mathrm{FV}\approx\mathrm{R}\$\,20{.}302{,}26

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