Mariana aplicou \mathrm{R} \ 110.000,00 pelo prazo de 24 meses, e resgatou\mathrm{R} $128.000,00 no fim da aplicação. Sendo os juros reais deçã2,2 %$ ao mês, calcule a taxa de correção monetária mensal e a taxa nominal de juros desta operação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas bem claras:
  • Informação 1: capital inicial = \mathrm{R}\$\,110.000,00.
  • Informação 2: valor resgatado ao final de 24 meses = \mathrm{R}\$\,128.000,00.
  • Informação 3: juros reais mensais r = 2,2\% ao mês (ou seja r=0,022 em forma decimal).
  • Pergunta A: calcular a taxa de correção monetária mensal (vou chamar de c).
  • Pergunta B: calcular a taxa nominal de juros mensal dessa operação (vou chamar de i).
Observação: eu não vou resolver nada aqui ainda — só deixei listado o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Entendendo a relação entre as taxas (a parte teórica, mastigada):
  • Quando temos “juros reais” r e uma “correção monetária” c, a taxa nominal efetiva mensal i (aquela que aparece no rendimento observado) é dada, no regime composto, pela relação discreta
1+i=(1+r)(1+c).
Explicando: 1+r é o fator de crescimento real do capital em um mês, 1+c é o fator de correção monetária no mesmo mês; multiplicando os fatores obtemos o fator total (nominal) por mês 1+i. Não é soma direta porque estamos em composto (multiplicativo).
  • Como a aplicação foi por 24 meses com capital 110{.}000 e virando 128{.}000, o fator acumulado total foi
\frac{128{.}000}{110{.}000}=\frac{128}{110}.
Esse fator total também é (1+i)^{24}. Logo temos a equação fundamental para achar i:
(1+i)^{24}=\frac{128}{110}.

Passo 3

Calcular a taxa nominal mensal i a partir do fator acumulado:
  • Isolando i obtemos
1+i=\left(\frac{128}{110}\right)^{1/24}, \qquad i=\left(\frac{128}{110}\right)^{1/24}-1.
  • Vamos calcular numericamente com cuidado. Primeiro o quociente:
\frac{128}{110}=1,1636363636\ldots
  • Aplicando raiz 24-ésima (faço via logaritmo para explicar o processo que dá resultado com boa precisão):
\log_{10}\!\left(\frac{128}{110}\right)=\log_{10}(128)-\log_{10}(110).
Como \log_{10}(128)=7\log_{10}(2) e \log_{10}(110)=\log_{10}(11)+1, usando valores numéricos conhecidos:
\log_{10}(2)\approx0,30102999566,\qquad \log_{10}(11)\approx1,04139268516,
portanto
\log_{10}\!\left(\frac{128}{110}\right)\approx0,06581728449.
Dividindo por 24 e voltando da base 10 para a base e resulta (mostrando a ideia; o importante é o número final):
1+i\approx 10^{0,00274238769}\approx e^{0,00631694199}\approx 1,006336944.
Logo
i\approx 0,006336944.
Convertendo para porcentagem:
i\approx 0,6336944\%\\ \text{ao mês}.ê

Passo 4

Calcular a taxa de correção monetária mensal c a partir da relação entre i, r e c:
  • A relação é
1+i=(1+r)(1+c).
Isolando c,
1+c=\frac{1+i}{1+r}, \qquad c=\frac{1+i}{1+r}-1.
Uma forma algébrica equivalente, às vezes mais prática, é
c=\frac{i-r}{1+r}.
  • Substituindo os valores numéricos i\approx0,006336944 e r=0,022:
c=\frac{0,006336944-0,022}{1,022}=\frac{-0,015663056}{1,022}\approx -0,015325887.
Convertendo para porcentagem:
c\approx -1,5325887\%\\ \text{ao mês}.ê

Passo 5

Interpretação rápida e motivadora (você consegue!): o resultado mostra que, para que o capital de 110{.}000 vire 128{.}000 em 24 meses, a taxa nominal mensal observada é pequena ( \approx0,6337\% ao mês). Como o enunciado dizia que os juros reais eram grandes ( 2,2\% ao mês), a única forma de conciliar isso com o crescimento observado é que a correção monetária c seja negativa — ou seja, houve deflação mensal equivalente a cerca de -1,5326\% ao mês. Parece estranho à primeira vista, mas é consequência direta das contas e da fórmula composta que relaciona taxas reais, nominais e correção.

Resposta

Taxa de correção monetária mensal: -0,015325887 (ou -1,5325887\% ao mês).
Taxa nominal de juros mensal: 0,006336944 (ou 0,6336944\% ao mês).

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