Mariana aplicou
110.000,00
\mathrm{R} $128.000,00
2,2 %$ ao mês, calcule a taxa de correção monetária mensal e a taxa nominal de juros desta operação.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas bem claras:
- Informação 1: capital inicial
. - Informação 2: valor resgatado ao final de
meses . - Informação 3: juros reais mensais
ao mês (ou seja em forma decimal). - Pergunta A: calcular a taxa de correção monetária mensal (vou chamar de
). - Pergunta B: calcular a taxa nominal de juros mensal dessa operação (vou chamar de
).
Observação: eu não vou resolver nada aqui ainda — só deixei listado o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Entendendo a relação entre as taxas (a parte teórica, mastigada):
- Quando temos “juros reais”
e uma “correção monetária” , a taxa nominal efetiva mensal (aquela que aparece no rendimento observado) é dada, no regime composto, pela relação discreta
Explicando:
é o fator de crescimento real do capital em um mês,
é o fator de correção monetária no mesmo mês; multiplicando os fatores obtemos o fator total (nominal) por mês
. Não é soma direta porque estamos em composto (multiplicativo).
- Como a aplicação foi por
meses com capital e virando , o fator acumulado total foi
Esse fator total também é
. Logo temos a equação fundamental para achar
:
Passo 3
Calcular a taxa nominal mensal
a partir do fator acumulado:
- Isolando
obtemos
- Vamos calcular numericamente com cuidado. Primeiro o quociente:
- Aplicando raiz
-ésima (faço via logaritmo para explicar o processo que dá resultado com boa precisão):
Como
e
, usando valores numéricos conhecidos:
portanto
Dividindo por
e voltando da base
para a base
resulta (mostrando a ideia; o importante é o número final):
Logo
Convertendo para porcentagem:
Passo 4
Calcular a taxa de correção monetária mensal
a partir da relação entre
,
e
:
- A relação é
Isolando
,
Uma forma algébrica equivalente, às vezes mais prática, é
- Substituindo os valores numéricos
e :
Convertendo para porcentagem:
Passo 5
Interpretação rápida e motivadora (você consegue!): o resultado mostra que, para que o capital de
vire
em
meses, a taxa nominal mensal observada é pequena (
ao mês). Como o enunciado dizia que os juros reais eram grandes (
ao mês), a única forma de conciliar isso com o crescimento observado é que a correção monetária
seja negativa — ou seja, houve deflação mensal equivalente a cerca de
ao mês. Parece estranho à primeira vista, mas é consequência direta das contas e da fórmula composta que relaciona taxas reais, nominais e correção.
Resposta
Taxa de correção monetária mensal:
(ou
ao mês).
Taxa nominal de juros mensal: (ou
ao mês).
Taxa nominal de juros mensal: