1. Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
P V I=\left\{\begin{array}{l} \left(y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7}\right) \frac{d y}{d x}=5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8} \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
  • Qual a solução geral dessa EDO ?
  • A solução nula é solução dessa EDO?
  • O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
  • Existe solução única? Qual é?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
P V I=\left\{\begin{array}{l} \left(y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7}\right)\dfrac{d y}{d x}=5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8},\\[6pt] y(0)=1. \end{array}\right.
Perguntas que devemos responder (com justificativa):
  1. Qual a solução geral dessa EDO?
  2. A solução nula é solução dessa EDO?
  3. O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
  4. Existe solução única? Qual é?
Informações relevantes dadas:
  • A EDO está escrita em forma implícita: \big(y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7}\big)\,y' = 5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Todas as expressões envolvem polinômios em x e potências de y.]

Passo 2

Transformo a EDO para a forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 para verificar se é exata. Multiplicando ambos os lados por dx e recolocando termos:
-(5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8})\,dx + (y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7})\,dy = 0.
Portanto defino
M(x,y) = -\big(5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8}\big),\qquad N(x,y)=y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7}.
Agora aplico o teste de exatidão: calculo \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos \dfrac{\partial M}{\partial y}:
\frac{\partial M}{\partial y} = -\big(25 x^{4} y^{4} + 16 x y^{7}\big).
Calculemos \dfrac{\partial N}{\partial x}:
\frac{\partial N}{\partial x} = 25 x^{4} y^{4} + 4 x y^{7}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq \dfrac{\partial N}{\partial x}, a forma não é exata a princípio.

Passo 3

Procuro um fator integrante que dependa apenas de y, usando a condição conhecida:
se \dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y} dividido por M é função apenas de y, então existe \mu=\mu(y).
Calculo
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{(25 x^{4} y^{4}+4 x y^{7}) - ( -25 x^{4} y^{4}-16 x y^{7})}{- (5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8})}.
Simplificando passo a passo:
  • Numerador: 25 x^{4} y^{4}+4 x y^{7} +25 x^{4} y^{4}+16 x y^{7} = 50 x^{4} y^{4}+20 x y^{7}.
  • Fator comum no numerador: 10 x y^{4}(5 x^{3}+2 y^{3}).
  • Denominador: -x y^{5}(5 x^{3}+2 y^{3}).
Cancelando x(5 x^{3}+2 y^{3}) e y^{4}, fica
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = -\frac{10}{y}.
Isso depende apenas de y. Logo existe um fator integrante \mu(y) dado por
\mu(y)=\exp\!\left(\int -\frac{10}{y}\,dy\right)=\exp(-10\ln|y|)=|y|^{-10}.
Como lidamos com a condição inicial y(0)=1>0, podemos tomar simplesmente \mu(y)=y^{-10}.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(y)=y^{-10}. Os novos M e N (vou chamá-los de \widetilde M,\widetilde N) são:
\widetilde M(x,y) = -\big(5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8}\big) y^{-10} = -\big(5 x^{4} y^{-5} + 2 x y^{-2}\big),
\widetilde N(x,y) = \big(y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7}\big) y^{-10} = y^{-1} + 5 x^{5} y^{-6} + 2 x^{2} y^{-3}.
Verifico exatidão calculando derivadas parciais:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 25 x^{4} y^{-6} + 4 x y^{-3}, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 25 x^{4} y^{-6} + 4 x y^{-3},
portanto \widetilde M\,dx+\widetilde N\,dy é exata.

Passo 5

Como a forma é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \widetilde M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \widetilde N(x,y).
Integro \widetilde M em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y) = \int \widetilde M\,dx = \int -\big(5 x^{4} y^{-5} + 2 x y^{-2}\big)\,dx = -x^{5} y^{-5} - x^{2} y^{-2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.
Agora imponho \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde N. Calculo \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} da expressão acima:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = 5 x^{5} y^{-6} + 2 x^{2} y^{-3} + h'(y).
Igualando a \widetilde N=y^{-1}+5 x^{5} y^{-6}+2 x^{2} y^{-3} obtemos
h'(y)=y^{-1}.
Integrando, h(y)=\ln|y| + \text{const}. Assim a função potencial (ignorando a constante) é
\Phi(x,y) = \ln|y| - x^{2} y^{-2} - x^{5} y^{-5}.
A constante de integração geral dá a família de soluções implícitas
\boxed{\\ \ln|y| - \dfrac{x^{2}}{y^{2}} - \dfrac{x^{5}}{y^{5}} = C\\ }.
Essa é a solução geral implícita da EDO (válida onde y\neq 0 e as expressões fazem sentido).

Passo 6

Verifico se a solução nula y\equiv 0 é solução da EDO original. Substituindo y=0 em ambos os lados da equação original:
  • Lado esquerdo: \big(y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7}\big)\,y' = 0\cdot y' = 0.
  • Lado direito: 5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8}=0.
    Ambos são 0, logo a igualdade 0=0 é satisfeita para todo x. Portanto y\equiv 0 é uma solução (global) da equação diferencial escrita na forma dada. Observação: se quisermos escrever a EDO na forma normal y'=f(x,y) então aparecem denominadores com potências de y e y=0 torna f indefinida; por isso y\equiv0 é solução na forma implícita dada, mas a escrita explícita y'=f(x,y) não é válida em pontos com y=0.

Passo 7

Analiso as hipóteses do teorema de existência e unicidade para o PVI em torno do ponto (x_{0},y_{0})=(0,1). Escrevendo a EDO na forma normal
y'=f(x,y)=\frac{5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8}}{y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7}},
vejo que f é uma razão de polinômios em x e potências de y. No ponto (0,1) o denominador vale
y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7}\Big|_{(0,1)} = 1\neq 0,
logo f é bem definida e é função suave (infinitamente diferenciável) numa vizinhança de (0,1). O mesmo vale para \partial f/\partial y (derivada parcial existe e é contínua nessa vizinhança) porque são operações algébricas sobre polinômios com denominador não nulo. Portanto as hipóteses clássicas do teorema de existência e unicidade (continuidade de f e de \partial f/\partial y numa vizinhança do ponto inicial) são satisfeitas.

Passo 8

Conclusões sobre existência e unicidade e a solução do PVI:
  • Pelo teorema, existe uma solução única (local) passando por (0,1).
  • A solução geral implícita foi encontrada em

Passo 9

\ln|1| - \frac{0^{2}}{1^{2}} - \frac{0^{5}}{1^{5}} = 0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto a solução do PVI (única localmente) é dada implicitamente por
\boxed{\\ \ln y - \dfrac{x^{2}}{y^{2}} - \dfrac{x^{5}}{y^{5}} = 0,\quad y(0)=1\\ }.
Observações finais e motivação: embora exista também a solução trivial y\equiv 0 da equação implícita, ela não satisfaz a condição inicial y(0)=1; assim para o PVI dado a solução única é a que obteve C=0 acima. A solução está em forma implícita; tentar isolar y explicitamente em função de x leva a uma equação algébrica complicada, desnecessária para a prova de existência e unicidade.

Resposta

Solução geral: \displaystyle \ln|y| - \dfrac{x^{2}}{y^{2}} - \dfrac{x^{5}}{y^{5}} = C.
A solução nula é solução da EDO? Sim, y\equiv 0 satisfaz a equação na forma dada (gera 0=0).
O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade? Sim — f e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (0,1) porque o denominador é não nulo em (0,1).
Existe solução única? Qual é? Sim; a solução do PVI é (implicitamente) \displaystyle \ln y - \dfrac{x^{2}}{y^{2}} - \dfrac{x^{5}}{y^{5}} = 0, que satisfaz y(0)=1.

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