Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq \dfrac{\partial N}{\partial x}, a forma não é exata a princípio.
Passo 3
Procuro um fator integrante que dependa apenas de y, usando a condição conhecida:
se \dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y} dividido por M é função apenas de y, então existe \mu=\mu(y).
Calculo
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{(25 x^{4} y^{4}+4 x y^{7}) - ( -25 x^{4} y^{4}-16 x y^{7})}{- (5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8})}.
Simplificando passo a passo:
Numerador: 25 x^{4} y^{4}+4 x y^{7} +25 x^{4} y^{4}+16 x y^{7} = 50 x^{4} y^{4}+20 x y^{7}.
Fator comum no numerador: 10 x y^{4}(5 x^{3}+2 y^{3}).
Lado direito: 5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8}=0.
Ambos são 0, logo a igualdade 0=0 é satisfeita para todo x. Portanto y\equiv 0 é uma solução (global) da equação diferencial escrita na forma dada. Observação: se quisermos escrever a EDO na forma normal y'=f(x,y) então aparecem denominadores com potências de y e y=0 torna f indefinida; por isso y\equiv0 é solução na forma implícita dada, mas a escrita explícita y'=f(x,y) não é válida em pontos com y=0.
Passo 7
Analiso as hipóteses do teorema de existência e unicidade para o PVI em torno do ponto (x_{0},y_{0})=(0,1). Escrevendo a EDO na forma normal
y'=f(x,y)=\frac{5 x^{4} y^{5}+2 x y^{8}}{y^{9}+5 x^{5} y^{4}+2 x^{2} y^{7}},
vejo que f é uma razão de polinômios em x e potências de y. No ponto (0,1) o denominador vale
logo f é bem definida e é função suave (infinitamente diferenciável) numa vizinhança de (0,1). O mesmo vale para \partial f/\partial y (derivada parcial existe e é contínua nessa vizinhança) porque são operações algébricas sobre polinômios com denominador não nulo. Portanto as hipóteses clássicas do teorema de existência e unicidade (continuidade de f e de \partial f/\partial y numa vizinhança do ponto inicial) são satisfeitas.
Passo 8
Conclusões sobre existência e unicidade e a solução do PVI:
Pelo teorema, existe uma solução única (local) passando por (0,1).
Observações finais e motivação: embora exista também a solução trivial y\equiv 0 da equação implícita, ela não satisfaz a condição inicial y(0)=1; assim para o PVI dado a solução única é a que obteve C=0 acima. A solução está em forma implícita; tentar isolar y explicitamente em função de x leva a uma equação algébrica complicada, desnecessária para a prova de existência e unicidade.
Resposta
Solução geral: \displaystyle \ln|y| - \dfrac{x^{2}}{y^{2}} - \dfrac{x^{5}}{y^{5}} = C.
A solução nula é solução da EDO? Sim, y\equiv 0 satisfaz a equação na forma dada (gera 0=0).
O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade? Sim — f e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (0,1) porque o denominador é não nulo em (0,1).
Existe solução única? Qual é? Sim; a solução do PVI é (implicitamente) \displaystyle \ln y - \dfrac{x^{2}}{y^{2}} - \dfrac{x^{5}}{y^{5}} = 0, que satisfaz y(0)=1.