Calcule o valor de x nos seguintes casos:
(c) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & 1 \\\\ 0 & 1 & x \\\\ -1 & 3 & 3\end{array}\right| \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x tais que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & x & 1\\\\ 0 & 1 & x\\\\ -1 & 3 & 3 \end{pmatrix}
seja menor ou igual a zero. O conteúdo aqui é cálculo de determinante via expansão por cofatores e resolução de uma inequação polinomial.

Passo 2

Vamos expandir o determinante pela primeira linha. Denotando
D(x)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & 1\\\\ 0 & 1 & x\\\\ -1 & 3 & 3 \end{array}\right|,
aplicamos a regra de cofatores:
D(x) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & x\\\ 3 & 3\end{pmatrix} -x\cdot\det\begin{pmatrix}0 & x\\\ -1 & 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & x\\\ 3 & 3\end{pmatrix} =1\cdot3 - x\cdot3 = 3 - 3x,
\det\begin{pmatrix}0 & x\\\ -1 & 3\end{pmatrix} =0\cdot3 - x\cdot(-1) = x,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 3\end{pmatrix} =0\cdot3 - 1\cdot(-1) = 1.
Substituindo em D(x):
D(x) = (3 - 3x)\;-\;x\cdot x\;+\;1 = 3 - 3x - x^2 + 1 = 4 - 3x - x^2.

Passo 4

Queremos D(x)\le0, ou seja,
4 - 3x - x^2 \le 0.
Multiplicando tudo por -1 e invertendo o sinal da inequação:
x^2 + 3x - 4 \ge 0.

Passo 5

Para resolver \displaystyle x^2 + 3x - 4 \ge 0, achamos as raízes da equação associada:
x^2 + 3x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2},
ou seja, x=-4 e x=1. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a região onde ela fica acima de zero é
x \le -4 \quad\text{ou}\quad x \ge 1.

Resposta

x\in(-\infty,-4]\cup[1,\infty).

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