Calcule o valor de x nos seguintes casos:
(b) \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\\ x & x & 4 \\\\ 0 & x & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2 x & 4 \\\\ 1 & x\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de x que satisfaz a igualdade entre dois determinantes: o determinante de ordem 3
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3\\\ x & x & 4\\\\ 0 & x & 2 \end{vmatrix}
e o determinante de ordem 2
\begin{vmatrix} 2x & 4\\\\ 1 & x \end{vmatrix}.
O conteúdo envolve cálculo de determinantes e solução de uma equação polinomial em x.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de ordem 3 desenvolvendo pela primeira linha:
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3\\\ x & x & 4\\\\ 0 & x & 2 \end{vmatrix} =1\cdot\begin{vmatrix}x & 4\x & 2\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}x & 4\\\ 0 & 2\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}x & x\\\ 0 & x\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}x & 4\x & 2\end{vmatrix}=x\cdot2-4\cdot x=-2x, \quad \begin{vmatrix}x & 4\\\ 0 & 2\end{vmatrix}=x\cdot2-4\cdot0=2x, \quad \begin{vmatrix}x & x\\\ 0 & x\end{vmatrix}=x\cdot x - x\cdot0=x^2.
Substituindo:
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3\\\ x & x & 4\\\\ 0 & x & 2 \end{vmatrix} =1\cdot(-2x)-1\cdot(2x)+3\cdot x^2 =3x^2-4x.

Passo 3

O determinante de ordem 2 é
\begin{vmatrix} 2x & 4\\\\ 1 & x \end{vmatrix} =2x\cdot x - 4\cdot1 =2x^2-4.

Passo 4

Igualando os dois resultados:
3x^2-4x = 2x^2-4\
3x^2-4x -2x^2 +4 = 0\
x^2 -4x +4 = 0\
Fatorando,
(x-2)^2=0
logo x=2.

Resposta

x = 2

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