Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx
O conteúdo principal aqui é a antiderivada de uma potência de x e a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando potência fracionária:
\sqrt{x}=x^{\tfrac12}.
Pela regra de potência, uma antiderivada de x^{\tfrac12} é
F(x)=\frac{x^{\tfrac12+1}}{\tfrac12+1}=\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32}=\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral de 1 a 4 de x^{\tfrac12} é
\int_{1}^{4}x^{\tfrac12}\,dx = F(4)-F(1).

Passo 4

Calculamos
F(4)=\frac{2}{3}\,4^{\tfrac32}=\frac{2}{3}\cdot( \sqrt{4}\,)^{3}=\frac{2}{3}\cdot2^{3}=\frac{2}{3}\cdot8=\frac{16}{3},
F(1)=\frac{2}{3}\,1^{\tfrac32}=\frac{2}{3}\cdot1=\frac{2}{3}.
Logo,
\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx = F(4)-F(1)=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{3}

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