Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é de
até .
A tarefa é obter o valor numérico desta integral.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): a expressão dentro da raiz é uma função linear de
(ou seja,
). Uma técnica padrão para esse tipo de integral é fazer uma troca de variável (substituição) para transformar a raiz de uma expressão linear em uma potência simples de uma nova variável. A substituição escolhe a nova variável igual à expressão dentro da raiz para simplificar a forma do integrando.
Passo 3
Fazer a substituição. Definimos a nova variável
Agora derivamos para relacionar
e
:
Expliquei cada símbolo:
é a nova variável dependente de
;
é a diferença infinitesimal de
;
é a diferença infinitesimal de
.
Passo 4
Mudar os limites de integração para a variável
. Como
:
- quando
temos ; - quando
temos .
Portanto a integral emde a vira uma integral em de a .
Passo 5
Reescrever o integrando em
. Note que
. Substituindo
e os limites, obtemos
Aqui foi usada a propriedade de que uma constante pode ser fatorada para fora da integral.
Passo 6
Integrar usando a regra da potência para integrais. A regra diz que, para
,
No nosso caso
, logo
Voltando ao fator
que estava fora da integral, temos a primitiva completa:
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites
e
. Pelo resultado do passo anterior,