Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{2}(x+1)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} (x+1)^{2}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é (x+1)^{2}.
  • Os limites de integração são x=-1 (limite inferior) e x=2 (limite superior).
  • A tarefa é fornecer o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Estratégia escolhida: integrar expandindo o polinômio e aplicando a regra do poder termo a termo.
Motivo: expandir (x+1)^{2} transforma a integral numa soma de potências de x, e a regra do poder para integrais é direta e elementar. Alternativa válida seria a substituição u=x+1, que também é curta — vou mostrar essa alternativa mais adiante como verificação.
Lembrete da regra que vamos usar (aula rápida): a regra do poder para integrais diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável de integração e n é o expoente. Para integrais definidas usamos uma primitiva F(x) e o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),
onde F'(x)=f(x).

Passo 3

Expandir o integrando:
(x+1)^{2} = x^{2}+2x+1.

Passo 4

Integrar termo a termo usando linearidade e a regra do poder:
\int (x^{2}+2x+1)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int 2x\,dx + \int 1\,dx.
Aplicando a regra do poder:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2},\qquad \int 1\,dx = x.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x.

Passo 5

Avaliar a integral definida com o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{2} (x+1)^{2}\,dx = F(2)-F(-1).
Calcular F(2):
F(2)=\frac{2^{3}}{3}+2^{2}+2=\frac{8}{3}+4+2=\frac{8}{3}+6=\frac{26}{3}.
Calcular F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{3}}{3}+(-1)^{2}+(-1)= -\frac{1}{3}+1-1=-\frac{1}{3}.
Subtrair:
F(2)-F(-1)=\frac{26}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{26}{3}+\frac{1}{3}=\frac{27}{3}=9.

Passo 6

Verificação rápida pela substituição u=x+1 (opcional, para treinar outra técnica):
  • Se u=x+1 então du=dx.
  • Limites: x=-1\Rightarrow u=0, x=2\Rightarrow u=3.
\int_{-1}^{2} (x+1)^{2}\,dx = \int_{0}^{3} u^{2}\,du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \frac{27}{3}-0 = 9.
Confirma o resultado anterior.

Resposta

9

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