Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{2} \sqrt{4 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
I=\int_{0}^{2} \sqrt{4x+1}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sqrt{4x+1}.
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=2.
    A tarefa é obter o valor numérico desta integral.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): a expressão dentro da raiz é uma função linear de x (ou seja, 4x+1). Uma técnica padrão para esse tipo de integral é fazer uma troca de variável (substituição) para transformar a raiz de uma expressão linear em uma potência simples de uma nova variável. A substituição escolhe a nova variável igual à expressão dentro da raiz para simplificar a forma do integrando.

Passo 3

Fazer a substituição. Definimos a nova variável
u = 4x+1.
Agora derivamos para relacionar du e dx:
du = 4\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{4}.
Expliquei cada símbolo: u é a nova variável dependente de x; du é a diferença infinitesimal de u; dx é a diferença infinitesimal de x.

Passo 4

Mudar os limites de integração para a variável u. Como u=4x+1:
  • quando x=0 temos u=4\cdot 0+1=1;
  • quando x=2 temos u=4\cdot 2+1=9.
    Portanto a integral em x de 0 a 2 vira uma integral em u de 1 a 9.

Passo 5

Reescrever o integrando em u. Note que \sqrt{4x+1}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Substituindo dx=\dfrac{du}{4} e os limites, obtemos
I=\int_{0}^{2}\sqrt{4x+1}\,dx=\int_{1}^{9} u^{1/2}\cdot\frac{du}{4}=\frac{1}{4}\int_{1}^{9} u^{1/2}\,du.
Aqui foi usada a propriedade de que uma constante pode ser fatorada para fora da integral.

Passo 6

Integrar usando a regra da potência para integrais. A regra diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=\tfrac{1}{2}, logo
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Voltando ao fator \tfrac{1}{4} que estava fora da integral, temos a primitiva completa:
\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{1}{6}u^{3/2}.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites u=1 e u=9. Pelo resultado do passo anterior,
I=\left.\frac{1}{6}u^{3/2}\right|_{1}^{9}=\frac{1}{6}\bigl(9^{3/2}-1^{3/2}\bigr).

Resposta

\dfrac{13}{3}

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