Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{0} 7 x^{6} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0} 7 x^{6}\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • Integrando: \;7x^{6}.\n
  • Intervalo de integração: \;[-1,0].\n
  • Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar: a Regra Fundamental do Cálculo. Ela diz que, se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Portanto, para calcular a integral definida basta encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=7x^{6} e avaliar F nos limites.

Passo 3

Regra para primitivas de potências e regra da constante:
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Isso funciona porque, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, obtém-se x^{n} (pela regra da derivação de potências).
  • Regra da constante: para constante c,
\int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx.
Aplicando essas regras ao nosso integrando:
\int 7x^{6}\,dx = 7\int x^{6}\,dx = 7\cdot\frac{x^{7}}{7} + C = x^{7} + C.
Logo uma primitiva é F(x)=x^{7}.

Passo 4

Aplicando a Regra Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{0} 7x^{6}\,dx = F(0)-F(-1).
Calculemos F nos extremos:
F(0)=0^{7}=0, \qquad F(-1)=(-1)^{7}=-1.
Portanto
F(0)-F(-1)=0-(-1)=1.

Passo 5

Checagem rápida por interpretação: como x^{6}\ge 0 para todo x, a função 7x^{6} é não negativa; integrar sobre [-1,0] deve dar um número positivo — e o resultado 1 confirma isso. Outra verificação: \int_{-1}^{1}7x^{6}\,dx=2, então a metade (de -1 a 0) é 1, consistente.

Resposta

1

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