Esta lista depende da resolução da lista anterior. Para encontrar a solução particular y_{p} faz se necessario saber qual a solução geral da equação homogênea associada y_{c} que foi calculada na lista de Revisão 1.
(a) Qual é a forma adequada para a solução particular da equação
y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=2+t e^{2 t}+3 \cos t
se queremos utilizar o método dos coeficientes indeterminados (Não avalie as constantes !!!).
(b) Resolva a seguinte equação diferencial:
(D-4)^{3}\left(D^{3}-D^{2}+D-1\right) y=5 x^{2} e^{4 x}+8 \operatorname{sen} x
utilizando o método dos coeficientes indeterminados (Não avalie as constantes !!!).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Há duas partes:
    • (a) Pergunta: qual é a forma adequada para a solução particular \,y_p, da equação y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime}=2+t e^{2t}+3\cos t,usando o método dos coeficientes indeterminados. Pedido explícito: “Não avalie as constantes”.
    • (b) Pergunta: resolver a equação (D-4)^{3}\bigl(D^{3}-D^{2}+D-1\bigr)\,y=5x^{2}e^{4x}+8\sin xusando coeficientes indeterminados. Pedido explícito: “Não avalie as constantes”.
  • Informações relevantes (extraídas do enunciado):
    • Em (a) o operador diferencial é D^{3}-4D.
    • Em (b) o operador é (D-4)^{3}(D^{3}-D^{2}+D-1).
    • Nos dois casos vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados, então precisamos:
      • encontrar as raízes do polinômio característico (para identificar ressonâncias),
      • propor um ansatz para cada termo do lado direito com multiplicadores x^{m} (ou t^{m}) quando houver ressonância,
      • não calcular os coeficientes finais (apenas apresentar as formas com constantes indeterminadas).

Passo 2

Conceito rápido e lembrança prática (mini-aula): método dos coeficientes indeterminados e ressonância.
  • Ideia: para um termo do lado direito do tipo “polinômio \times exponencial \times trigonométricos”, propõe-se um candidato y_p do mesmo tipo com coeficientes constantes desconhecidas.
  • Ressonância: se a parte exponencial ou a parte trigonométrica corresponde a uma raiz r do polinômio característico da equação homogênea, então multiplica-se o candidato por x^{m} (ou t^{m}), onde m é a multiplicidade da raiz r no polinômio característico.
  • Exemplos práticos:
    • Se o RHS tem P_n(x)e^{\alpha x} (polinômio de grau n), tente x^{m}Q_n(x)e^{\alpha x}, onde Q_n é polinômio desconhecido de grau n e m é a multiplicidade da raiz \alpha.
    • Se o RHS tem A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x) e i\beta (ou -i\beta) não é raiz, tente C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x). Se for raiz com multiplicidade m, multiplica-se por x^{m}.
Vou aplicar isso passo a passo em (a) e (b).

Passo 3

Parte (a): encontre primeiro a solução geral da homogênea associada (porque precisamos saber ressonâncias).
  • A equação homogênea é y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime}=0,que em termos do operador D é (D^{3}-4D)y=0.
  • Fatorando o polinômio característico: D^{3}-4D = D(D^{2}-4)=D(D-2)(D+2).Logo as raízes são r=0,\,2,\,-2, todas de multiplicidade 1.
  • Assim a solução complementar (homogênea) é y_{c}=C_{1}\cdot 1 + C_{2}e^{2t} + C_{3}e^{-2t},ou seja y_{c}=C_{1}+C_{2}e^{2t}+C_{3}e^{-2t}.

Passo 4

Ainda em (a): analisar cada termo do lado direito e propor o ansatz particular com justificativa.
O lado direito é a soma de três termos: constante 2, termo t e^{2t} e termo 3\cos t. Tratar cada um separadamente:
  1. Termo constante \,2.
  • Se o RHS é uma constante (polinômio de grau 0), o candidato usual é um polinômio constante A.
  • Mas como r=0 (ou seja e^{0\cdot t}=1) é raiz simples do característico (multiplicidade 1), há ressonância de ordem m=1. Portanto multiplicamos por t^{1}.
  • Assim o candidato para a parte constante é y_{p}^{(1)} = A t,onde A é constante indeterminada.
  1. Termo t e^{2t}.
  • É um polinômio de grau 1 multiplicado por e^{2t}. Sem ressonância o candidato seria (At+B)e^{2t}.
  • Porém r=2 é raiz do característico (multiplicidade 1), logo há ressonância de ordem m=1. Assim multiplicamos por t^{1}.
  • Portanto o candidato torna-se y_{p}^{(2)} = t\bigl(A t + B\bigr)e^{2t} = \bigl(A t^{2} + B t\bigr)e^{2t},com A,B constantes indeterminadas.
  1. Termo 3\cos t.
  • Termo trigonométrico \cos t corresponde à parte exponencial complexa e^{it} com \beta=1. Há ressonância somente se r=\pm i forem raízes do característico.
  • Avaliando o característico em r=i: i^{3}-4i=-i-4i=-5i\neq0. Logo \pm i não são raízes; não há ressonância.
  • Para um termo A\cos t + B\sin t sem ressonância o candidato padrão é y_{p}^{(3)} = C\cos t + D\sin t,com C,D constantes indeterminadas.

Passo 5

Combinar os candidatos parciais para obter o ansatz total em (a).
  • Somando as três partes: y_{p} = A t + \bigl(B t^{2} + C t\bigr)e^{2t} + D\cos t + E\sin t,onde A,B,C,D,E são constantes indeterminadas (não as constantes de integração da homogênea).
  • Observação final didática: não há necessidade aqui de determinar os valores de A,B,C,D,E (o enunciado pede explicitamente para não avaliá-los). Na prova, depois desse passo você substituiria y_{p} na equação e resolveria um sistema linear para essas constantes.

Passo 6

Parte (b): primeiro fatorar o operador e encontrar a solução complementar y_{c}.
  • O operador dado é (D-4)^{3}\bigl(D^{3}-D^{2}+D-1\bigr).
  • Note que o polinômio cúbico pode ser fatorado por agrupamento: D^{3}-D^{2}+D-1 = (D^{2}(D-1) + 1(D-1)) = (D-1)(D^{2}+1).
  • Assim o operador total é (D-4)^{3}(D-1)(D^{2}+1).
  • As raízes do característico são:
    • r=4 com multiplicidade 3 (da fator (D-4)^{3}),
    • r=1 com multiplicidade 1,
    • r=\pm i (raízes de D^{2}+1) com multiplicidade 1 cada.
  • Logo a solução geral da homogênea é (com as formas clássicas para raízes múltiplas e complexas): y_{c} = \bigl(C_{1} + C_{2}x + C_{3}x^{2}\bigr)e^{4x} + C_{4}e^{x} + C_{5}\cos x + C_{6}\sin x,onde C_{1},\dots,C_{6} são constantes arbitrárias.

Passo 7

Em (b): analisar o lado direito e propor candidatos para y_{p}.
O RHS tem dois termos: 5x^{2}e^{4x} e 8\sin x. Tratá-los separadamente.
  1. Termo 5x^{2}e^{4x}.
  • É polinômio de grau 2 multiplicado por e^{4x}.
  • Como r=4 é raiz do característico com multiplicidade 3, há ressonância de ordem m=3.
  • Sem ressonância um candidato seria um polinômio de grau 2 vezes e^{4x}: (Ax^{2}+Bx+C)e^{4x}.
  • Com ressonância de ordem 3 multiplicamos por x^{3}. Então o candidato torna-se y_{p}^{(1)} = x^{3}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr)e^{4x}.
  • Podemos reescrever isso como um polinômio de grau 5 vezes e^{4x}, por exemplo y_{p}^{(1)} = \bigl(Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}\bigr)e^{4x},com A,B,C constantes indeterminadas.
  1. Termo 8\sin x.
  • Termo trigonométrico com frequência 1. Como \pm i são raízes do fator D^{2}+1 do característico, há ressonância (multiplicidade 1 para \pm i).
  • Sem ressonância o candidato seria D\cos x + E\sin x.
  • Com ressonância de ordem 1 multiplicamos por x: y_{p}^{(2)} = x\bigl(F\cos x + G\sin x\bigr),com F,G constantes indeterminadas.

Passo 8

Combinar os candidatos para obter o y_{p} total em (b) e escrever a solução geral.
  • Somando as duas partes: y_{p} = \bigl(Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}\bigr)e^{4x} + x\bigl(F\cos x + G\sin x\bigr),com A,B,C,F,G constantes indeterminadas.
  • A solução geral da equação é a soma da complementar y_{c} e da particular y_{p}: y = y_{c} + y_{p}ou explicitamente y = \bigl(C_{1} + C_{2}x + C_{3}x^{2}\bigr)e^{4x} + C_{4}e^{x} + C_{5}\cos x + C_{6}\sin x + \bigl(Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}\bigr)e^{4x} + x\bigl(F\cos x + G\sin x\bigr),onde C_{1},\dots,C_{6},A,B,C,F,G são constantes indeterminadas (não avaliadas, conforme pedido).

Resposta

(a) y_{p}=A t + \bigl(B t^{2} + C t\bigr)e^{2t} + D\cos t + E\sin t
(b) y=\bigl(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\bigr)e^{4x}+C_{4}e^{x}+C_{5}\cos x+C_{6}\sin x +\bigl(Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}\bigr)e^{4x}+x\bigl(F\cos x+G\sin x\bigr)

Exercícios relacionados