Esta lista depende da resolução da lista anterior. Para encontrar a solução particular
faz se necessario saber qual a solução geral da equação homogênea associada
que foi calculada na lista de Revisão 1.
(a) Qual é a forma adequada para a solução particular da equação
se queremos utilizar o método dos coeficientes indeterminados (Não avalie as constantes !!!).
(b) Resolva a seguinte equação diferencial:
utilizando o método dos coeficientes indeterminados (Não avalie as constantes !!!).
(a) Qual é a forma adequada para a solução particular da equação
(b) Resolva a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
-
Há duas partes:
- (a) Pergunta: qual é a forma adequada para a solução particular
, da equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Pedido explícito: “Não avalie as constantes”. - (b) Pergunta: resolver a equação
usando coeficientes indeterminados. Pedido explícito: “Não avalie as constantes”.
- (a) Pergunta: qual é a forma adequada para a solução particular
-
Informações relevantes (extraídas do enunciado):
- Em (a) o operador diferencial é
. - Em (b) o operador é
. - Nos dois casos vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados, então precisamos:
- encontrar as raízes do polinômio característico (para identificar ressonâncias),
- propor um ansatz para cada termo do lado direito com multiplicadores
(ou ) quando houver ressonância, - não calcular os coeficientes finais (apenas apresentar as formas com constantes indeterminadas).
- Em (a) o operador diferencial é
Passo 2
Conceito rápido e lembrança prática (mini-aula): método dos coeficientes indeterminados e ressonância.
- Ideia: para um termo do lado direito do tipo “polinômio
exponencial trigonométricos”, propõe-se um candidato do mesmo tipo com coeficientes constantes desconhecidas. - Ressonância: se a parte exponencial ou a parte trigonométrica corresponde a uma raiz
do polinômio característico da equação homogênea, então multiplica-se o candidato por (ou ), onde é a multiplicidade da raiz no polinômio característico. - Exemplos práticos:
- Se o RHS tem
(polinômio de grau ), tente , onde é polinômio desconhecido de grau e é a multiplicidade da raiz . - Se o RHS tem
e (ou ) não é raiz, tente . Se for raiz com multiplicidade , multiplica-se por .
- Se o RHS tem
Vou aplicar isso passo a passo em (a) e (b).
Passo 3
Parte (a): encontre primeiro a solução geral da homogênea associada (porque precisamos saber ressonâncias).
- A equação homogênea é
que em termos do operador é - Fatorando o polinômio característico:
Logo as raízes são , todas de multiplicidade . - Assim a solução complementar (homogênea) é
ou seja
Passo 4
Ainda em (a): analisar cada termo do lado direito e propor o ansatz particular com justificativa.
O lado direito é a soma de três termos: constante
, termo
e termo
. Tratar cada um separadamente:
- Termo constante
.
- Se o RHS é uma constante (polinômio de grau
), o candidato usual é um polinômio constante . - Mas como
(ou seja ) é raiz simples do característico (multiplicidade ), há ressonância de ordem . Portanto multiplicamos por . - Assim o candidato para a parte constante é
onde é constante indeterminada.
- Termo
.
- É um polinômio de grau
multiplicado por . Sem ressonância o candidato seria . - Porém
é raiz do característico (multiplicidade ), logo há ressonância de ordem . Assim multiplicamos por . - Portanto o candidato torna-se
com constantes indeterminadas.
- Termo
.
- Termo trigonométrico
corresponde à parte exponencial complexa com . Há ressonância somente se forem raízes do característico. - Avaliando o característico em
: . Logo não são raízes; não há ressonância. - Para um termo
sem ressonância o candidato padrão é com constantes indeterminadas.
Passo 5
Combinar os candidatos parciais para obter o ansatz total em (a).
- Somando as três partes:
onde são constantes indeterminadas (não as constantes de integração da homogênea). - Observação final didática: não há necessidade aqui de determinar os valores de
(o enunciado pede explicitamente para não avaliá-los). Na prova, depois desse passo você substituiria na equação e resolveria um sistema linear para essas constantes.
Passo 6
Parte (b): primeiro fatorar o operador e encontrar a solução complementar
.
- O operador dado é
- Note que o polinômio cúbico pode ser fatorado por agrupamento:
- Assim o operador total é
- As raízes do característico são:
-
com multiplicidade (da fator ), -
com multiplicidade , -
(raízes de ) com multiplicidade cada.
-
- Logo a solução geral da homogênea é (com as formas clássicas para raízes múltiplas e complexas):
onde são constantes arbitrárias.
Passo 7
Em (b): analisar o lado direito e propor candidatos para
.
O RHS tem dois termos:
e
. Tratá-los separadamente.
- Termo
.
- É polinômio de grau
multiplicado por . - Como
é raiz do característico com multiplicidade , há ressonância de ordem . - Sem ressonância um candidato seria um polinômio de grau
vezes : . - Com ressonância de ordem
multiplicamos por . Então o candidato torna-se - Podemos reescrever isso como um polinômio de grau
vezes , por exemplo com constantes indeterminadas.
- Termo
.
- Termo trigonométrico com frequência
. Como são raízes do fator do característico, há ressonância (multiplicidade para ). - Sem ressonância o candidato seria
. - Com ressonância de ordem
multiplicamos por : com constantes indeterminadas.
Passo 8
Combinar os candidatos para obter o
total em (b) e escrever a solução geral.
- Somando as duas partes:
com constantes indeterminadas. - A solução geral da equação é a soma da complementar
e da particular : ou explicitamente onde são constantes indeterminadas (não avaliadas, conforme pedido).
Resposta
(a)
(b)