Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e .
O que é pedido: o valor numérico da integral definida acima (um número real).
Passo 2
Ideia geral que vou usar (explicada passo a passo): para calcular uma integral definida é comum encontrar uma primitiva (ou antiderivada)
de
— isto é, uma função cuja derivada é
. O Teorema Fundamental do Cálculo diz:
Aqui
é a variável de integração,
é o limite inferior e
o limite superior. Vou encontrar uma primitiva
de
e avaliar
.
Passo 3
Propriedades úteis (explicadas): a integral é linear, isto é,
e constantes saem da integral:
onde
é constante. Vou aplicar essas propriedades para separar
em duas integrais mais simples.
Passo 4
Regra de potência para primitiva (explicação): para
vale
onde
é a constante de integração. No nosso caso
aparece na primeira potência
, então aplicamos a regra com
.
Passo 5
Calcular a primitiva de cada termo:
- Para
, usando que a constante sai da integral e a regra de potência,
- Para
, a primitiva de uma constante é a constante vezes :
Somando, uma primitiva de
é
(A constante de integração
pode ser omitida ao usar o Teorema Fundamental do Cálculo, pois cancela na diferença
.)
Passo 6
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcular
e
:
Portanto
Passo 7
Cheque rápido (interpertativo): a função
no intervalo
varia de
até
. A média é
e o comprimento do intervalo é
, então a área (integral) é média × comprimento =
. Isso confirma o resultado.