Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1}(2 x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}(2 x+3)\,d x.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x)=2x+3.
  • Os limites de integração são a=0 e b=1.
    O que é pedido: o valor numérico da integral definida acima (um número real).

Passo 2

Ideia geral que vou usar (explicada passo a passo): para calcular uma integral definida é comum encontrar uma primitiva (ou antiderivada) F(x) de f(x) — isto é, uma função cuja derivada é f(x). O Teorema Fundamental do Cálculo diz:
\text{se }F'(x)=f(x)\text{ então }\int_{a}^{b} f(x)\,d x = F(b)-F(a).ã
Aqui x é a variável de integração, a é o limite inferior e b o limite superior. Vou encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=2x+3 e avaliar F(1)-F(0).

Passo 3

Propriedades úteis (explicadas): a integral é linear, isto é,
\int (g(x)+h(x))\,d x = \int g(x)\,d x + \int h(x)\,d x
e constantes saem da integral:
\int c\cdot g(x)\,d x = c\int g(x)\,d x,
onde c é constante. Vou aplicar essas propriedades para separar \int(2x+3)\,dx em duas integrais mais simples.

Passo 4

Regra de potência para primitiva (explicação): para n\neq -1 vale
\int x^{n}\,d x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. No nosso caso x aparece na primeira potência x^{1}, então aplicamos a regra com n=1.

Passo 5

Calcular a primitiva de cada termo:
  • Para \int 2x\,d x, usando que a constante sai da integral e a regra de potência,
\int 2x\,d x = 2\int x\,d x = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
  • Para \int 3\,d x, a primitiva de uma constante é a constante vezes x:
\int 3\,d x = 3x.
Somando, uma primitiva de f(x)=2x+3 é
F(x)=x^{2}+3x.
(A constante de integração C pode ser omitida ao usar o Teorema Fundamental do Cálculo, pois cancela na diferença F(b)-F(a).)

Passo 6

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{1}(2x+3)\,d x = F(1)-F(0).
Calcular F(1) e F(0):
F(1)=1^{2}+3\cdot 1 = 1+3 = 4,
F(0)=0^{2}+3\cdot 0 = 0.
Portanto
\int_{0}^{1}(2x+3)\,d x = 4-0 = 4.

Passo 7

Cheque rápido (interpertativo): a função 2x+3 no intervalo [0,1] varia de 3 até 5. A média é \tfrac{3+5}{2}=4 e o comprimento do intervalo é 1, então a área (integral) é média × comprimento = 4\cdot1=4. Isso confirma o resultado.

Resposta

4

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