Calcule o valor do vetor campo elétrico a partir do potencial elétrico V(z)=\frac{K Q}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}.
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Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor campo elétrico a partir do potencial elétrico dado. Informação fornecida:
  • O potencial é \displaystyle V(z)=\frac{K\,Q}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}.
  • As constantes são K, Q e R; a variável é z.
  • Não há dependência das coordenadas x ou y — o potencial depende só de z.
    A pergunta explícita é: encontrar o vetor campo elétrico \mathbf{E}(z) associado a esse potencial.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (mini-aula): o campo elétrico está relacionado ao potencial por
\mathbf{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla V é o gradiente de V, que dá a taxa de variação de V em cada direção. Se V depende apenas de z, o gradiente reduz-se à derivada em z multiplicada pelo versor \hat{z}:
\nabla V = \frac{dV}{dz}\,\hat{z}.
Portanto, neste caso
\mathbf{E}(z) = -\frac{dV}{dz}\,\hat{z}.
Explicação do que isso significa: \hat{z} é o vetor unitário na direção z. Quando derivamos em z estamos medindo como V muda ao mover-se ao longo do eixo z. O sinal negativo indica que o campo aponta na direção de decrescimento do potencial.

Passo 3

Preparação para derivar: escrevo o potencial numa forma conveniente para aplicar a regra da cadeia e a regra da potência:
V(z)=KQ\,(z^{2}+R^{2})^{-1/2}.
Vou derivar passo a passo a função f(u)=u^{-1/2} com u=z^{2}+R^{2}. Pela regra da cadeia:
\frac{dV}{dz}=KQ\cdot\frac{d}{dz}\bigl((z^{2}+R^{2})^{-1/2}\bigr) =KQ\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(z^{2}+R^{2})^{-3/2}\cdot\frac{d}{dz}(z^{2}+R^{2}).
Aqui usei: derivada de u^{-1/2} em relação a u é -\tfrac{1}{2}u^{-3/2}, e depois multiplico por du/dz.

Passo 4

Continuando o cálculo da derivada interna: \dfrac{d}{dz}(z^{2}+R^{2})=2z. Substituindo:
\frac{dV}{dz}=KQ\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(z^{2}+R^{2})^{-3/2}\cdot 2z = -KQ\,\frac{z}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}.
Mostrei as cancelas: o 2 do numerador cancela com \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora aplico \mathbf{E}(z) = -\dfrac{dV}{dz}\,\hat{z}. Como \dfrac{dV}{dz} = -KQ\,\dfrac{z}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}, temos
\mathbf{E}(z) = -\left(-KQ\,\frac{z}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}\right)\hat{z} = KQ\,\frac{z}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}\,\hat{z}.
Interpretação física rápida: para z>0 o campo aponta no sentido +\hat{z}; para z<0 aponta em -\hat{z}; em z=0 o campo é zero. Também vale notar que para |z|\gg R o campo se aproxima de \dfrac{KQ}{z^{2}} com o sinal de z, como no caso de uma carga pontual (comportamento assintótico).

Passo 6

Comentário extra de ajuda para prova (dica prática): se o enunciado usar K=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, basta substituir no resultado. Na hora da prova, escreva primeiro a relação \mathbf{E}=-\nabla V, identifique se V depende só de uma coordenada (aqui só z) e então faça a derivada direta usando regra da cadeia — isso economiza tempo e evita erros de sinais.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(z)=KQ\,\frac{z}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}\,\hat{z}

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