Calcule o valor do vetor campo elétrico a partir do potencial elétrico
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o vetor campo elétrico a partir do potencial elétrico dado. Informação fornecida:
- O potencial é
. - As constantes são
, e ; a variável é . - Não há dependência das coordenadas
ou — o potencial depende só de .
A pergunta explícita é: encontrar o vetor campo elétricoassociado a esse potencial.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (mini-aula): o campo elétrico está relacionado ao potencial por
Aqui
é o gradiente de
, que dá a taxa de variação de
em cada direção. Se
depende apenas de
, o gradiente reduz-se à derivada em
multiplicada pelo versor
:
Portanto, neste caso
Explicação do que isso significa:
é o vetor unitário na direção
. Quando derivamos em
estamos medindo como
muda ao mover-se ao longo do eixo
. O sinal negativo indica que o campo aponta na direção de decrescimento do potencial.
Passo 3
Preparação para derivar: escrevo o potencial numa forma conveniente para aplicar a regra da cadeia e a regra da potência:
Vou derivar passo a passo a função
com
. Pela regra da cadeia:
Aqui usei: derivada de
em relação a
é
, e depois multiplico por
.
Passo 4
Continuando o cálculo da derivada interna:
. Substituindo:
Mostrei as cancelas: o
do numerador cancela com
.
Passo 5
Agora aplico
. Como
, temos
Interpretação física rápida: para
o campo aponta no sentido
; para
aponta em
; em
o campo é zero. Também vale notar que para
o campo se aproxima de
com o sinal de
, como no caso de uma carga pontual (comportamento assintótico).
Passo 6
Comentário extra de ajuda para prova (dica prática): se o enunciado usar
, basta substituir no resultado. Na hora da prova, escreva primeiro a relação
, identifique se
depende só de uma coordenada (aqui só
) e então faça a derivada direta usando regra da cadeia — isso economiza tempo e evita erros de sinais.