Um capacitor esférico é constituído por duas placas metálicas esféricas concêntricas de espessura desprezível, de raios a e 3 a. Suas placas são carregadas com cargas opostas de mesmo módulo Q, a interna positiva e a externa negativa. O capacitor é preenchido por um dielétrico de permissividade \epsilon não uniforme dada por
\epsilon=4 \epsilon_{0} a / r .
Determine:
a) O campo elétrico \mathbf{E} e os vetores \mathbf{D} e \mathbf{P} entre as placas;
b) Todas as densidades de cargas de polarização no dielétrico e as respectivas cargas totais de polarização.
c) A capacitância desse dispositivo;
d) A energia elétrica armazenada.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor esférico formado por duas cascas metálicas concêntricas de raios a (interna) e 3a (externa), espessura desprezível. A placa interna tem carga livre +Q e a externa carga livre -Q. O espaço entre as placas é preenchido por um dielétrico cuja permissividade depende da posição:
\epsilon(r)=\frac{4\epsilon_0 a}{r},\qquad a<r<3a.
O que é pedido:
a) Determinar os vetores \mathbf{E}, \mathbf{D} e \mathbf{P} na região entre as placas ( a<r<3a).
b) Calcular todas as densidades de carga de polarização (ligadas) no dielétrico: densidade volumétrica \rho_b(r) e densidades superficiais \sigma_b nas superfícies r=a e r=3a; e também as cargas totais de polarização (integrais correspondentes).
c) Determinar a capacitância C do capacitor.
d) Calcular a energia elétrica armazenada U.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos depois:
  • Geometria esférica, assim esperamos campos radiais e dependência apenas de r.
  • Carga livre total na superfície interna: +Q. Na externa: -Q.
  • Permissividade no dielétrico dada acima.

Passo 2

Princípio físico central (aula rápida): em meios lineares e isotrópicos, o vetor deslocamento elétrico \mathbf{D} satisfaz a lei de Gauss com as cargas livres:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}}.
Para simetria esférica, usando uma superfície gaussiana esférica de raio r com a<r<3a, o fluxo de \mathbf{D} é 4\pi r^2 D_r(r) e o total de carga livre encaixada é Q (apenas a carga na placa interna). Assim obtemos diretamente D_r(r). Isso evita ter que lidar com \epsilon(r) na divergência de \mathbf{E}.
Aplicando Gauss para \mathbf{D}:
\oint_{S_r}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q \quad\Rightarrow\quad D_r(r)\,4\pi r^2=Q.

Passo 3

Calcule D_r(r) a partir da equação anterior:
D_r(r)=\frac{Q}{4\pi r^2},\qquad a<r<3a.
Direção: radial para fora (vetor unitário \hat{r}). Portanto
\mathbf{D}(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}\,\hat{r}.
Comentário didático: isso é muito útil porque \mathbf{D} é diretamente determinado pelas cargas livres independentemente de \epsilon(r). Isso é a forma mais rápida para problemas com dielétrico não homogêneo quando se conhece a distribuição de cargas livres com simetria.

Passo 4

Relação constitutiva local entre \mathbf{D}, \mathbf{E} e \epsilon(r) (aula rápida): em meios lineares isotrópicos locais vale
\mathbf{D}(r)=\epsilon(r)\,\mathbf{E}(r).
Logo podemos obter \mathbf{E} dividindo \mathbf{D} por \epsilon(r).
Usando \epsilon(r)=\dfrac{4\epsilon_0 a}{r} e \mathbf{D} do passo anterior:
\mathbf{E}(r)=\frac{\mathbf{D}(r)}{\epsilon(r)} =\frac{Q}{4\pi r^2}\frac{1}{\dfrac{4\epsilon_0 a}{r}}\;\hat{r} =\frac{Q}{16\pi\epsilon_0 a\,r}\;\hat{r}.
Portanto
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{16\pi\epsilon_0 a\,r}\,\hat{r},\qquad a<r<3a.
Observação de física: \mathbf{E} decai como 1/r aqui (não como 1/r^2) por causa da variação espacial de \epsilon(r).

Passo 5

Relação entre \mathbf{P}, \mathbf{D} e \mathbf{E} (aula rápida): em eletrostática macroscópica temos
\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}.
Logo o vetor polarização é
\mathbf{P}=\mathbf{D}-\epsilon_0\mathbf{E}.
Substituindo \mathbf{D} e \mathbf{E}:
\mathbf{P}(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}\hat{r}-\epsilon_0\frac{Q}{16\pi\epsilon_0 a\,r}\hat{r} =\left(\frac{Q}{4\pi r^2}-\frac{Q}{16\pi a\,r}\right)\hat{r}.
Simplificando a expressão (colocando em forma única):
\mathbf{P}(r)=\frac{Q(4a-r)}{16\pi a\,r^2}\,\hat{r},\qquad a<r<3a.
Comentário: também poderia usar \mathbf{P}=(\epsilon(r)-\epsilon_0)\mathbf{E} que leva ao mesmo resultado.

Passo 6

Agora vamos calcular as cargas de polarização. Fórmulas que usamos (aula rápida):
  • Densidade volumétrica ligada:
\rho_b(r)=-\nabla\cdot\mathbf{P}.
  • Densidade superficial ligada na interface do dielétrico com outro meio, tomando \hat{n} como normal apontando para fora do dielétrico:
\sigma_b=\mathbf{P}\cdot\hat{n}\quad\text{(avaliado na superfície).}í
Como \mathbf{P} é radial ( P_r(r)\hat{r}), a divergência em coordenadas esféricas é
\nabla\cdot\mathbf{P}=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\big(r^2 P_r(r)\big).
Vamos aplicar isso com a forma encontrada de P_r.

Passo 7

Calcule r^2 P_r(r) e sua derivada:
r^2 P_r(r)=r^2\cdot\frac{Q(4a-r)}{16\pi a r^2}=\frac{Q(4a-r)}{16\pi a}.
Derivando em r:
\frac{d}{dr}\big(r^2 P_r(r)\big)=\frac{d}{dr}\left(\frac{Q(4a-r)}{16\pi a}\right)=-\frac{Q}{16\pi a}.
Assim
\nabla\cdot\mathbf{P}=\frac{1}{r^2}\left(-\frac{Q}{16\pi a}\right)=-\frac{Q}{16\pi a r^2}.
Logo
\rho_b(r)=-\nabla\cdot\mathbf{P}=+\frac{Q}{16\pi a r^2},\qquad a<r<3a.
Interpretação: é uma densidade volumétrica ligada positiva que varia como 1/r^2.

Passo 8

Calcule as densidades superficiais ligadas nas duas superfícies do dielétrico. Precisamos saber o vetor normal para cada interface “fora” do dielétrico.
  • Na superfície interna r=a, o dielétrico ocupa r>a. A normal “para fora do dielétrico” nesta superfície aponta para dentro (direção de r decrescente), isto é \hat{n}=-\hat{r} na posição r=a. Portanto
\sigma_b(a)=\mathbf{P}(a)\cdot\hat{n}=-P_r(a).
Calcule P_r(a). Usando P_r(r)=\dfrac{Q(4a-r)}{16\pi a r^2}:
P_r(a)=\frac{Q(4a-a)}{16\pi a a^2}=\frac{3Q}{16\pi a^2}.
Assim
\sigma_b(a)=-\frac{3Q}{16\pi a^2}.
  • Na superfície externa r=3a, a normal para fora do dielétrico aponta para +\hat{r}. Então
\sigma_b(3a)=\mathbf{P}(3a)\cdot\hat{r}=P_r(3a).
Calcule
P_r(3a)=\frac{Q(4a-3a)}{16\pi a(3a)^2}=\frac{Q}{144\pi a^2}.
Logo
\sigma_b(3a)=\frac{Q}{144\pi a^2}.

Passo 9

Calcule as cargas totais de polarização (integrais):
  • Carga ligada volumétrica total Q_{b,\text{vol}}:
Q_{b,\text{vol}}=\int_{V}\rho_b\,dV=\int_{r=a}^{3a}\frac{Q}{16\pi a r^2}\,4\pi r^2\,dr.
Simplificando o integrando:
\rho_b\,dV=\frac{Q}{16\pi a r^2}\cdot 4\pi r^2\,dr=\frac{Q}{4a}\,dr.
Integrando:
Q_{b,\text{vol}}=\int_{a}^{3a}\frac{Q}{4a}\,dr=\frac{Q}{4a}(3a-a)=\frac{Q}{4a}\cdot 2a=\frac{Q}{2}.
  • Carga ligada superficial total na superfície r=a:
Q_{b,s}(a)=\sigma_b(a)\cdot 4\pi a^2 =-\frac{3Q}{16\pi a^2}\cdot 4\pi a^2=-\frac{3Q}{4}.
  • Carga ligada superficial total na superfície r=3a:
Q_{b,s}(3a)=\sigma_b(3a)\cdot 4\pi(3a)^2 =\frac{Q}{144\pi a^2}\cdot 4\pi\cdot 9a^2=\frac{Q}{4}.
Verificação (consistência): soma das cargas ligadas (volumétrica + duas superficiais)
Q_{b,\text{tot}}=\frac{Q}{2}-\frac{3Q}{4}+\frac{Q}{4}=0.
A soma é zero, como esperado para um dielétrico isolado (a polarização redistribui cargas mas não cria carga líquida total).

Passo 10

Agora determinamos a capacitância C. Definição: C=\dfrac{Q}{V} onde V é a diferença de potencial entre as placas. Calculamos V integrando o campo \mathbf{E} radial entre r=a e r=3a:
V=V(a)-V(3a)=-\int_{a}^{3a}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}=-\int_{a}^{3a}E_r(r)\,dr.
Substituindo E_r(r)=\dfrac{Q}{16\pi\epsilon_0 a r}:
V=-\int_{a}^{3a}\frac{Q}{16\pi\epsilon_0 a r}\,dr =-\frac{Q}{16\pi\epsilon_0 a}\big[\ln r\big]_{a}^{3a} =-\frac{Q}{16\pi\epsilon_0 a}\ln 3.
Tomando o valor absoluto da diferença de potencial (módulo):
|V|=\frac{Q}{16\pi\epsilon_0 a}\ln 3.
Logo a capacitância é
C=\frac{Q}{|V|}=\frac{16\pi\epsilon_0 a}{\ln 3}.
Comentário: a forma de C é análoga à de um capacitor esférico com constante dielétrica efetiva, mas aqui a dependência espacial de \epsilon resultou nesse fator numérico.

Passo 11

Energia elétrica armazenada U. Fórmula útil (aula rápida): para meios lineares em geral vale
U=\frac{1}{2}\int_{\text{tudo}} \mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\,dV.
Podemos integrar sobre a região entre a e 3a (fora da região dielétrica o \mathbf{E} é nulo dentro dos condutores). Substitua \mathbf{E} e \mathbf{D}:
Produto escalar:
\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}=E_r D_r=\frac{Q}{16\pi\epsilon_0 a r}\cdot\frac{Q}{4\pi r^2} =\frac{Q^2}{64\pi^2\epsilon_0 a}\cdot\frac{1}{r^3}.
Multiplicando por dV=4\pi r^2 dr:
\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\,dV=\frac{Q^2}{64\pi^2\epsilon_0 a}\frac{1}{r^3}\cdot 4\pi r^2\,dr =\frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0 a}\frac{1}{r}\,dr.
Integrando e multiplicando por 1/2:
U=\frac{1}{2}\int_{a}^{3a}\frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0 a}\frac{1}{r}\,dr =\frac{Q^2}{32\pi\epsilon_0 a}\int_{a}^{3a}\frac{1}{r}\,dr =\frac{Q^2}{32\pi\epsilon_0 a}\ln 3.
Verificação alternativa: usando U=Q^2/(2C) com C do passo 10:
U=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2}\cdot\frac{\ln 3}{16\pi\epsilon_0 a} =\frac{Q^2\ln 3}{32\pi\epsilon_0 a},
o que coincide com o resultado obtido por integração (bom sinal de consistência).

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{D}(r)=\frac{Q}{4\pi r^{2}}\,\hat{r},\qquad \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{16\pi\epsilon_{0}a\,r}\,\hat{r},\qquad \mathbf{P}(r)=\frac{Q(4a-r)}{16\pi a\,r^{2}}\,\hat{r}\quad (a<r<3a).
b) \displaystyle \rho_{b}(r)=\frac{Q}{16\pi a r^{2}}\quad(a<r<3a);
\displaystyle \sigma_{b}(a)=-\frac{3Q}{16\pi a^{2}},\qquad \sigma_{b}(3a)=\frac{Q}{144\pi a^{2}}.
Cargas totais: \displaystyle Q_{b,\text{vol}}=\frac{Q}{2},\quad Q_{b,s}(a)=-\frac{3Q}{4},\quad Q_{b,s}(3a)=\frac{Q}{4} (soma total 0).
c) \displaystyle C=\frac{16\pi\epsilon_{0}a}{\ln 3}.
d) \displaystyle U=\frac{Q^{2}\ln 3}{32\pi\epsilon_{0}a}.

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