Um capacitor esférico é constituído por duas placas metálicas esféricas concêntricas de espessura desprezível, de raios
e
. Suas placas são carregadas com cargas opostas de mesmo módulo
, a interna positiva e a externa negativa. O capacitor é preenchido por um dielétrico de permissividade
não uniforme dada por
Determine:
a) O campo elétrico
e os vetores
e
entre as placas;
b) Todas as densidades de cargas de polarização no dielétrico e as respectivas cargas totais de polarização.
c) A capacitância desse dispositivo;
d) A energia elétrica armazenada.
a) O campo elétrico
b) Todas as densidades de cargas de polarização no dielétrico e as respectivas cargas totais de polarização.
c) A capacitância desse dispositivo;
d) A energia elétrica armazenada.
Passo 1
O enunciado descreve um capacitor esférico formado por duas cascas metálicas concêntricas de raios
(interna) e
(externa), espessura desprezível. A placa interna tem carga livre
e a externa carga livre
. O espaço entre as placas é preenchido por um dielétrico cuja permissividade depende da posição:
O que é pedido:
a) Determinar os vetores ,
e
na região entre as placas (
).
b) Calcular todas as densidades de carga de polarização (ligadas) no dielétrico: densidade volumétrica e densidades superficiais
nas superfícies
e
; e também as cargas totais de polarização (integrais correspondentes).
c) Determinar a capacitância do capacitor.
d) Calcular a energia elétrica armazenada .
a) Determinar os vetores
b) Calcular todas as densidades de carga de polarização (ligadas) no dielétrico: densidade volumétrica
c) Determinar a capacitância
d) Calcular a energia elétrica armazenada
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos depois:
- Geometria esférica, assim esperamos campos radiais e dependência apenas de
. - Carga livre total na superfície interna:
. Na externa: . - Permissividade no dielétrico dada acima.
Passo 2
Princípio físico central (aula rápida): em meios lineares e isotrópicos, o vetor deslocamento elétrico
satisfaz a lei de Gauss com as cargas livres:
Para simetria esférica, usando uma superfície gaussiana esférica de raio
com
, o fluxo de
é
e o total de carga livre encaixada é
(apenas a carga na placa interna). Assim obtemos diretamente
. Isso evita ter que lidar com
na divergência de
.
Aplicando Gauss para
:
Passo 3
Calcule
a partir da equação anterior:
Direção: radial para fora (vetor unitário
). Portanto
Comentário didático: isso é muito útil porque
é diretamente determinado pelas cargas livres independentemente de
. Isso é a forma mais rápida para problemas com dielétrico não homogêneo quando se conhece a distribuição de cargas livres com simetria.
Passo 4
Relação constitutiva local entre
,
e
(aula rápida): em meios lineares isotrópicos locais vale
Logo podemos obter
dividindo
por
.
Usando
e
do passo anterior:
Portanto
Observação de física:
decai como
aqui (não como
) por causa da variação espacial de
.
Passo 5
Relação entre
,
e
(aula rápida): em eletrostática macroscópica temos
Logo o vetor polarização é
Substituindo
e
:
Simplificando a expressão (colocando em forma única):
Comentário: também poderia usar
que leva ao mesmo resultado.
Passo 6
Agora vamos calcular as cargas de polarização. Fórmulas que usamos (aula rápida):
- Densidade volumétrica ligada:
- Densidade superficial ligada na interface do dielétrico com outro meio, tomando
como normal apontando para fora do dielétrico:
Como
é radial (
), a divergência em coordenadas esféricas é
Vamos aplicar isso com a forma encontrada de
.
Passo 7
Calcule
e sua derivada:
Derivando em
:
Assim
Logo
Interpretação: é uma densidade volumétrica ligada positiva que varia como
.
Passo 8
Calcule as densidades superficiais ligadas nas duas superfícies do dielétrico. Precisamos saber o vetor normal para cada interface “fora” do dielétrico.
- Na superfície interna
, o dielétrico ocupa . A normal “para fora do dielétrico” nesta superfície aponta para dentro (direção de decrescente), isto é na posição . Portanto
Calcule
. Usando
:
Assim
- Na superfície externa
, a normal para fora do dielétrico aponta para . Então
Calcule
Logo
Passo 9
Calcule as cargas totais de polarização (integrais):
- Carga ligada volumétrica total
:
Simplificando o integrando:
Integrando:
- Carga ligada superficial total na superfície
:
- Carga ligada superficial total na superfície
:
Verificação (consistência): soma das cargas ligadas (volumétrica + duas superficiais)
A soma é zero, como esperado para um dielétrico isolado (a polarização redistribui cargas mas não cria carga líquida total).
Passo 10
Agora determinamos a capacitância
. Definição:
onde
é a diferença de potencial entre as placas. Calculamos
integrando o campo
radial entre
e
:
Substituindo
:
Tomando o valor absoluto da diferença de potencial (módulo):
Logo a capacitância é
Comentário: a forma de
é análoga à de um capacitor esférico com constante dielétrica efetiva, mas aqui a dependência espacial de
resultou nesse fator numérico.
Passo 11
Energia elétrica armazenada
. Fórmula útil (aula rápida): para meios lineares em geral vale
Podemos integrar sobre a região entre
e
(fora da região dielétrica o
é nulo dentro dos condutores). Substitua
e
:
Produto escalar:
Multiplicando por
:
Integrando e multiplicando por
:
Verificação alternativa: usando
com
do passo 10:
o que coincide com o resultado obtido por integração (bom sinal de consistência).
Resposta
a)
b)
Cargas totais: (soma total
).
c)
d)
b)
Cargas totais:
c)
d)