Q2 (25 pontos) - Suponha que uma nave de massa m esteja em uma órbita circular a uma velocidade v e a uma distância r do Sol, o qual possui massa
.
( 15 pontos) Deduza uma expressdo para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol.
( 15 pontos) Deduza uma expressdo para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dados fornecidos:
- Massa da nave:
. - A nave está em órbita circular a uma velocidade
. - A distância da nave ao Sol é
. - Massa do Sol (dada no enunciado):
.
- Massa da nave:
- Pergunta a ser respondida:
- Deduza uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol (ou seja, a velocidade mínima, medida na posição
, que faz a nave escapar para o infinito).
- Deduza uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol (ou seja, a velocidade mínima, medida na posição
Passo 2
Conceitos físicos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicadas passo a passo).
- Energia cinética: a energia associada ao movimento de uma massa
com velocidade é
Aqui
será a velocidade necessária para escapar (que chamaremos de
).
- Energia potencial gravitacional: a energia de interação gravitacional entre duas massas
e , separadas por distância , é
onde
é a constante gravitacional. O sinal negativo significa que, ao trazer a massa
de infinito até a distância
, trabalho negativo (isto é, energia é retirada do sistema): é a convenção usual em gravitação.
- Condição de escape: para a nave escapar ao infinito sem velocidade final (condição marginal de escape), a energia total inicial (cinética mais potencial) deve ser pelo menos zero. Em palavras: se a energia total inicial for
, a nave pode chegar ao infinito; o caso limite é .
Passo 3
Aplicando a condição de escape com as fórmulas de energia.
- Seja
a velocidade mínima, na posição , para escapar. A energia total inicial é
A condição limite de escape é
. Então igualamos a zero:
Passo 4
Resolver a equação da energia para
.
- Primeiro cancele
(não zero) em todos os termos:
- Isolando
:
- Multiplicando por
e aplicando raiz quadrada:
Passo 5
Relacionar com a velocidade orbital
dada no enunciado (útil para interpretar a resposta na prova).
- Para uma órbita circular, a força centrípeta necessária para manter a nave na órbita é fornecida pela gravitação. Assim:
- Cancelando
e simplificando:
portanto
Passo 6
Combinar as duas expressões para dar a forma final em termos de
.
- Substituindo
na expressão de obtemos
- Interpretação física rápida: a velocidade de escape medida na mesma distância
é vezes a velocidade circular nessa órbita — isto vem do argumento energético: é preciso o dobro da energia cinética para que a energia total chegue a zero.