Q2 (25 pontos) - Suponha que uma nave de massa m esteja em uma órbita circular a uma velocidade v e a uma distância r do Sol, o qual possui massa \mathrm{M}_{5}.
( 15 pontos) Deduza uma expressdo para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da nave: m.
    • A nave está em órbita circular a uma velocidade v.
    • A distância da nave ao Sol é r.
    • Massa do Sol (dada no enunciado): M_{5}.
  • Pergunta a ser respondida:
    • Deduza uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol (ou seja, a velocidade mínima, medida na posição r, que faz a nave escapar para o infinito).

Passo 2

Conceitos físicos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicadas passo a passo).
  • Energia cinética: a energia associada ao movimento de uma massa m com velocidade u é
K=\frac{1}{2} m u^{2}.
Aqui u será a velocidade necessária para escapar (que chamaremos de v_{\text{esc}}).
  • Energia potencial gravitacional: a energia de interação gravitacional entre duas massas m e M_{5}, separadas por distância r, é
U(r)=-\frac{G M_{5} m}{r},
onde G é a constante gravitacional. O sinal negativo significa que, ao trazer a massa m de infinito até a distância r, trabalho negativo (isto é, energia é retirada do sistema): é a convenção usual em gravitação.
  • Condição de escape: para a nave escapar ao infinito sem velocidade final (condição marginal de escape), a energia total inicial (cinética mais potencial) deve ser pelo menos zero. Em palavras: se a energia total inicial for E\ge 0, a nave pode chegar ao infinito; o caso limite é E=0.

Passo 3

Aplicando a condição de escape com as fórmulas de energia.
  • Seja v_{\text{esc}} a velocidade mínima, na posição r, para escapar. A energia total inicial é
E = \frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2} + \left(-\frac{G M_{5} m}{r}\right).
A condição limite de escape é E=0. Então igualamos a zero:
\frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2} - \frac{G M_{5} m}{r} = 0.

Passo 4

Resolver a equação da energia para v_{\text{esc}}.
  • Primeiro cancele m (não zero) em todos os termos:
\frac{1}{2} v_{\text{esc}}^{2} - \frac{G M_{5}}{r} = 0.
  • Isolando v_{\text{esc}}^{2}:
\frac{1}{2} v_{\text{esc}}^{2} = \frac{G M_{5}}{r}.
  • Multiplicando por 2 e aplicando raiz quadrada:
v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 G M_{5}}{r}}.

Passo 5

Relacionar com a velocidade orbital v dada no enunciado (útil para interpretar a resposta na prova).
  • Para uma órbita circular, a força centrípeta necessária para manter a nave na órbita é fornecida pela gravitação. Assim:
\frac{m v^{2}}{r} = \frac{G M_{5} m}{r^{2}}.
  • Cancelando m e simplificando:
v^{2} = \frac{G M_{5}}{r},
portanto
v = \sqrt{\frac{G M_{5}}{r}}.

Passo 6

Combinar as duas expressões para dar a forma final em termos de v.
  • Substituindo \dfrac{G M_{5}}{r}=v^{2} na expressão de v_{\text{esc}} obtemos
v_{\text{esc}}=\sqrt{2\,v^{2}}=\sqrt{2}\,v.
  • Interpretação física rápida: a velocidade de escape medida na mesma distância r é \sqrt{2} vezes a velocidade circular nessa órbita — isto vem do argumento energético: é preciso o dobro da energia cinética para que a energia total chegue a zero.

Resposta

v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2G M_{5}}{r}}=\sqrt{2}\,v

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