Calcule os valores extremos das funções abaixo no intervalo indicado:
f_{2}(x)=e^{-x}, em [-5,5]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os valores extremos (máximo e mínimo) da função f_{2}(x)=e^{-x} no intervalo [-5,5].\n
Informações dadas:
f_{2}(x)=e^{-x},\qquad x\in[-5,5].
O que precisamos entregar: o(s) ponto(s) em que a função atinge o máximo e o mínimo no intervalo e os respectivos valores de f_{2} nesses pontos.

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma simples e por que é o mais adequado): como a função exponencial é contínua e derivável em toda a reta, e estamos num intervalo fechado [-5,5], vale o Teorema do Valor Extremo (que vou explicar já). Portanto os extremos ocorrerão em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo. Logo o procedimento padrão e mais simples é:
  1. verificar continuidade/derivabilidade,
  2. calcular a derivada e achar pontos críticos,
  3. avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades e comparar os valores.

Passo 3

Mini-aula: Teorema do Valor Extremo e pontos críticos (passo a passo didático)
  • Teorema do Valor Extremo: se uma função é contínua num intervalo fechado [a,b], então ela atinge um máximo e um mínimo em algum(s) ponto(s) de [a,b]. Esses extremos ocorrem ou em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades a e b.
  • Definição de ponto crítico: x_{0} é ponto crítico se f'(x_{0})=0 ou f' não existe em x_{0}.
  • Aplicando aqui: a função exponencial é contínua e derivável em todo \mathbb{R}, então podemos usar o procedimento acima com segurança.

Passo 4

Calcular a derivada passo a passo (muito detalhado):
A função é f_{2}(x)=e^{-x}. Use a regra da cadeia: se g(x)=e^{u(x)}, então g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x)=-x, então u'(x)=-1. Portanto
f_{2}'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.
Interpretação: a derivada é -e^{-x}.

Passo 5

Encontrar pontos críticos:
Resolver f_{2}'(x)=0:
- e^{-x}=0.
Mas e^{-x}>0 para todo x, então -e^{-x} nunca é zero. Logo não existem pontos críticos onde f'(x)=0. Também f' existe em todo lugar, então não há pontos críticos por não existência da derivada. Conclusão: não há pontos críticos no intervalo; restam apenas as extremidades -5 e 5 como candidatos a extremos.

Passo 6

Analisar o sinal da derivada (intuição útil para a prova):
Como e^{-x}>0 para todo x, temos f_{2}'(x)=-e^{-x}<0 para todo x. Isso significa que f_{2} é estritamente decrescente em todo \mathbb{R}. Para uma função estritamente decrescente em um intervalo, o maior valor ocorre na extremidade esquerda e o menor valor ocorre na extremidade direita. Isso confirma que o máximo estará em x=-5 e o mínimo em x=5.

Passo 7

Avaliar a função nas extremidades (contas detalhadas):
Calcule f_{2}(-5) e f_{2}(5):
f_{2}(-5)=e^{-(-5)}=e^{5},
f_{2}(5)=e^{-5}.
Se quiser aproximações (sem calculadora dá pra lembrar que e\approx2,71828, então)
e^{5}\approx148{,}413159\quad\text{e}\quad e^{-5}\approx0{,}006737947.
Mas nas provas normalmente é aceitável deixar em termos de e^{5} e e^{-5}.

Passo 8

Conclusão final (compacta):
  • Não há pontos críticos no interior de [-5,5].
  • A função é estritamente decrescente, então o máximo ocorre em x=-5 com valor e^{5} e o mínimo ocorre em x=5 com valor e^{-5}.

Resposta

Máximo: \,f_{2}(-5)=e^{5} em \,x=-5\n
Mínimo: \,f_{2}(5)=e^{-5} em \,x=5

Exercícios relacionados