Calcule os valores extremos das funções abaixo no intervalo indicado:
, em
Passo 1
O enunciado pede para calcular os valores extremos (máximo e mínimo) da função
no intervalo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
O que precisamos entregar: o(s) ponto(s) em que a função atinge o máximo e o mínimo no intervalo e os respectivos valores de
nesses pontos.
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma simples e por que é o mais adequado): como a função exponencial é contínua e derivável em toda a reta, e estamos num intervalo fechado
, vale o Teorema do Valor Extremo (que vou explicar já). Portanto os extremos ocorrerão em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo. Logo o procedimento padrão e mais simples é:
- verificar continuidade/derivabilidade,
- calcular a derivada e achar pontos críticos,
- avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades e comparar os valores.
Passo 3
Mini-aula: Teorema do Valor Extremo e pontos críticos (passo a passo didático)
- Teorema do Valor Extremo: se uma função é contínua num intervalo fechado
, então ela atinge um máximo e um mínimo em algum(s) ponto(s) de . Esses extremos ocorrem ou em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades e . - Definição de ponto crítico:
é ponto crítico se ou não existe em . - Aplicando aqui: a função exponencial é contínua e derivável em todo
, então podemos usar o procedimento acima com segurança.
Passo 4
Calcular a derivada passo a passo (muito detalhado):
A função é . Use a regra da cadeia: se
, então
.
Aqui , então
. Portanto
A função é
Aqui
Interpretação: a derivada é
.
Passo 5
Encontrar pontos críticos:
Resolver :
Resolver
Mas
para todo
, então
nunca é zero. Logo não existem pontos críticos onde
. Também
existe em todo lugar, então não há pontos críticos por não existência da derivada. Conclusão: não há pontos críticos no intervalo; restam apenas as extremidades
e
como candidatos a extremos.
Passo 6
Analisar o sinal da derivada (intuição útil para a prova):
Como para todo
, temos
para todo
. Isso significa que
é estritamente decrescente em todo
. Para uma função estritamente decrescente em um intervalo, o maior valor ocorre na extremidade esquerda e o menor valor ocorre na extremidade direita. Isso confirma que o máximo estará em
e o mínimo em
.
Como
Passo 7
Avaliar a função nas extremidades (contas detalhadas):
Calcule e
:
Calcule
Se quiser aproximações (sem calculadora dá pra lembrar que
, então)
Mas nas provas normalmente é aceitável deixar em termos de
e
.
Passo 8
Conclusão final (compacta):
- Não há pontos críticos no interior de
. - A função é estritamente decrescente, então o máximo ocorre em
com valor e o mínimo ocorre em com valor .
Resposta
Máximo:
em
\n
Mínimo: em
Mínimo: