Calcule os valores extremos das funções abaixo no intervalo indicado:
f_{1}(x)=x-e^{-x}, em [-5,5]

Passo 1

O enunciado dá a função f_{1} e o intervalo e pede os valores extremos (mínimo e máximo) nesse intervalo. Informações relevantes:
  • Função: f_{1}(x)=x-e^{-x}.
  • Intervalo: [-5,5].
  • O que pedir: encontrar o menor valor (mínimo) e o maior valor (máximo) de f_{1} em [-5,5], e onde eles ocorrem.

Passo 2

Entendendo o que vamos fazer (sem formalidade técnica exagerada): para achar extremos de uma função numa intervalo fechado, o procedimento padrão é:
  1. Calcular a derivada f_{1}'(x).
  2. Identificar pontos críticos interiores onde f_{1}'(x)=0 ou onde f_{1}' não existe.
  3. Verificar os valores de f_{1} nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo x=-5 e x=5.
  4. O menor desses valores será o mínimo absoluto no intervalo; o maior será o máximo absoluto.
    Agora vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a derivada de f_{1}. Lembrete rápido: a derivada de x é 1. A derivada de e^{-x} é -e^{-x} (porque, em geral, \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}; aqui g(x)=-x e g'(x)=-1). Como temos f_{1}(x)=x-e^{-x}, a derivada é
f_{1}'(x)=1 - \bigl(-e^{-x}\bigr)=1+e^{-x}.

Passo 4

Encontrar pontos críticos: resolvemos f_{1}'(x)=0. Então precisamos resolver
1+e^{-x}=0.
Observe que para todo x temos e^{-x}>0, portanto 1+e^{-x}>1+0=1>0. Ou seja, a equação 1+e^{-x}=0 não tem solução real. Além disso, f_{1}'(x) existe para todo x. Conclusão: não há pontos críticos interiores ao intervalo.

Passo 5

Como f_{1}'(x)=1+e^{-x}>0 para todo x, a função é estritamente crescente em toda a reta real. Isso implica, em particular, que no intervalo fechado [-5,5] o menor valor ocorre no extremo esquerdo x=-5 e o maior valor ocorre no extremo direito x=5. Agora só falta calcular f_{1}(-5) e f_{1}(5).

Passo 6

Calcular os valores nos extremos:
  • Para x=-5:
f_{1}(-5) = -5 - e^{-(-5)} = -5 - e^{5}.
  • Para x=5:
f_{1}(5) = 5 - e^{-5}.
Se quiser uma aproximação numérica (apenas para intuir os tamanhos): e^{5}\approx 148{,}413159 e e^{-5}\approx 0{,}0067379. Assim,
f_{1}(-5)\approx -5 - 148{,}413159 \approx -153{,}413159,
f_{1}(5)\approx 5 - 0{,}0067379 \approx 4{,}9932621.

Passo 7

Interpretação final: mínimo absoluto em x=-5 com valor f_{1}(-5)=-5-e^{5}. Máximo absoluto em x=5 com valor f_{1}(5)=5-e^{-5}.

Resposta

Mínimo em x=-5: f_{1}(-5)=-5-e^{5}
Máximo em x=5: f_{1}(5)=5-e^{-5}

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