Calcule os valores extremos das funções abaixo no intervalo indicado:
, em
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo e pede os valores extremos (mínimo e máximo) nesse intervalo. Informações relevantes:
- Função:
. - Intervalo:
. - O que pedir: encontrar o menor valor (mínimo) e o maior valor (máximo) de
em , e onde eles ocorrem.
Passo 2
Entendendo o que vamos fazer (sem formalidade técnica exagerada): para achar extremos de uma função numa intervalo fechado, o procedimento padrão é:
- Calcular a derivada
. - Identificar pontos críticos interiores onde
ou onde não existe. - Verificar os valores de
nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo e . - O menor desses valores será o mínimo absoluto no intervalo; o maior será o máximo absoluto.
Agora vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Lembrete rápido: a derivada de
é
. A derivada de
é
(porque, em geral,
; aqui
e
). Como temos
, a derivada é
Passo 4
Encontrar pontos críticos: resolvemos
. Então precisamos resolver
Observe que para todo
temos
, portanto
. Ou seja, a equação
não tem solução real. Além disso,
existe para todo
. Conclusão: não há pontos críticos interiores ao intervalo.
Passo 5
Como
para todo
, a função é estritamente crescente em toda a reta real. Isso implica, em particular, que no intervalo fechado
o menor valor ocorre no extremo esquerdo
e o maior valor ocorre no extremo direito
. Agora só falta calcular
e
.
Passo 6
Calcular os valores nos extremos:
- Para
:
- Para
:
Se quiser uma aproximação numérica (apenas para intuir os tamanhos):
e
. Assim,
Passo 7
Interpretação final: mínimo absoluto em
com valor
. Máximo absoluto em
com valor
.
Resposta
Mínimo em
:
Máximo em :
Máximo em