Considere a reta tangente ao gráfico das seguintes funções no valor de x indicado. Calcule a sua intersecção com o eixo horizontal:
f_{2}(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}, x=\frac{\pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede: “Considere a reta tangente ao gráfico da função no valor de x indicado. Calcule a sua intersecção com o eixo horizontal.”
Dados fornecidos: a função é \displaystyle f_{2}(x)=e^{\operatorname{sen}(x)} e o ponto de tangência é em x=\dfrac{\pi}{6}.
O que precisamos encontrar: a coordenada x onde a reta tangente em x=\dfrac{\pi}{6} corta o eixo x (ou seja, o valor de x tal que a ordenada y=0 na reta tangente).

Passo 2

Calcular o ponto do gráfico no ponto de tangência (a ordenada y em x=\dfrac{\pi}{6}). Primeiro avaliamos o seno:
\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.
Portanto o valor da função nesse x é
f_{2}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=e^{\sin(\pi/6)}=e^{1/2}.
Assim o ponto do gráfico é \left(\dfrac{\pi}{6},\,e^{1/2}\right).

Passo 3

Precisamos da inclinação da reta tangente, que é a derivada f_{2}'(x) avaliada em x=\dfrac{\pi}{6}. Vou explicar a regra que usamos: se temos uma função composta g(x)=e^{u(x)}, a derivada é dada pela “regra da cadeia”:
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x)=\sin(x). Além disso, a derivada de \sin(x) é \cos(x). Portanto aplicando isso:
f_{2}'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{\sin x}\big)=e^{\sin x}\cdot\cos x.
Interpretação: f_{2}'(x) é a inclinação (o “declive”) da tangente em cada x.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=\dfrac{\pi}{6}. Sabemos que
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
f_{2}'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=e^{\sin(\pi/6)}\cdot\cos(\pi/6)=e^{1/2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto é \displaystyle e^{1/2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente no ponto \left(\dfrac{\pi}{6},\,e^{1/2}\right). A forma ponto-declive da reta é
y=f_{2}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+f_{2}'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\big(x-\tfrac{\pi}{6}\big).
Substituindo os valores encontrados:
y=e^{1/2}+\left(e^{1/2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\big(x-\tfrac{\pi}{6}\big).
Aqui y é a ordenada na reta tangente para um dado x.

Passo 6

Determinar a interseção com o eixo horizontal: isso ocorre quando y=0. Então resolvemos
0=e^{1/2}+\left(e^{1/2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\big(x-\tfrac{\pi}{6}\big).
Isolando x: primeiro podemos dividir por e^{1/2} (positivo, então não altera sinais):
0=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\big(x-\tfrac{\pi}{6}\big).
Reorganizando:
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\big(x-\tfrac{\pi}{6}\big)=-1.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2}{\sqrt{3}}:
x-\tfrac{\pi}{6}=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
Finalmente:
x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3},
portanto
x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

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