Considere a reta tangente ao gráfico das seguintes funções no valor de
indicado. Calcule a sua intersecção com o eixo horizontal:
Passo 1
O enunciado pede: “Considere a reta tangente ao gráfico da função no valor de
indicado. Calcule a sua intersecção com o eixo horizontal.”
Dados fornecidos: a função é e o ponto de tangência é em
.
O que precisamos encontrar: a coordenada onde a reta tangente em
corta o eixo
(ou seja, o valor de
tal que a ordenada
na reta tangente).
Dados fornecidos: a função é
O que precisamos encontrar: a coordenada
Passo 2
Calcular o ponto do gráfico no ponto de tangência (a ordenada
em
). Primeiro avaliamos o seno:
Portanto o valor da função nesse
é
Assim o ponto do gráfico é
.
Passo 3
Precisamos da inclinação da reta tangente, que é a derivada
avaliada em
. Vou explicar a regra que usamos: se temos uma função composta
, a derivada é dada pela “regra da cadeia”:
Aqui
. Além disso, a derivada de
é
. Portanto aplicando isso:
Interpretação:
é a inclinação (o “declive”) da tangente em cada
.
Passo 4
Avaliar a derivada em
. Sabemos que
Logo
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto é
.
Passo 5
Escrever a equação da reta tangente no ponto
. A forma ponto-declive da reta é
Substituindo os valores encontrados:
Aqui
é a ordenada na reta tangente para um dado
.
Passo 6
Determinar a interseção com o eixo horizontal: isso ocorre quando
. Então resolvemos
Isolando
: primeiro podemos dividir por
(positivo, então não altera sinais):
Reorganizando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
portanto