Calcule os valores de L^2 Y(theta, phi) para as seguintes funções:
(3 / 8 pi)^1 / 2 sen theta e^-i phi
O que você pode dizer sobre os resultados encontrados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular os valores de L^2 Y(theta, phi) para a função Y(theta, phi) = (38pi)^1/2 sintheta e^-iphi. Estamos lidando com operadores de momento angular na mecânica quântica, mais especificamente com funções harmônicas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como o operador L^2 age sobre essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o operador L^2. Ele representa o quadrado do operador de momento angular total e, em coordenadas esféricas, age sobre as funções harmônicas esféricas Yl^m(theta, phi). Uma propriedade fundamental é que essas funções são autovalores desse operador.

Passo 3

A propriedade que vamos usar é: L^2 Yl^m = hbar^2 l(l+1) Yl^m, onde l é o número quântico angular e m é o número quântico magnético. Isso significa que ao aplicar L^2 em Yl^m, a gente só multiplica a função por hbar^2 l(l+1).

Passo 4

Agora, precisamos identificar os valores de l e m para a função dada Y(theta, phi) = (38pi)^1/2 sintheta e^-iphi. Comparando com a forma geral das funções harmônicas esféricas, vemos que essa função corresponde a l = 1 e m = -1.

Passo 5

Com l = 1, podemos calcular l(l+1) = 1 times 2 = 2. Assim, a aplicação do operador L^2 na nossa função será multiplicar a função original por hbar^2 times 2.

Passo 6

Portanto, temos:
L^2 Y(theta, phi) = hbar^2 times 2 times (38pi)^1/2 sintheta e^-iphi = 2hbar^2 Y(theta, phi)

Resposta

Aplicando o operador L^2 na função dada, obtemos L^2 Y(theta, phi) = 2hbar^2 Y(theta, phi). Isso mostra que a função Y(theta, phi) é um autovalor de L^2 com valor próprio 2hbar^2, confirmando que estamos lidando com uma função harmônica esférica correspondente a l = 1.

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