Calcule os valores de
para as seguintes funções:
O que você pode dizer sobre os resultados encontrados?
O que você pode dizer sobre os resultados encontrados?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular os valores de
para a função dada
. Isso envolve conceitos de momentum angular e harmônicos esféricos da física ou matemática. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o operador
na função fornecida e usar as propriedades dos harmônicos esféricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o operador
. Ele representa o quadrado do operador de momento angular e, quando aplicado a um harmônico esférico
, o resultado é:
Aqui,
é o número quântico angular e
é o número quântico magnético.
Passo 3
Agora, vamos identificar os números quânticos
e
para a função dada
.
Sabemos que a forma geral dos harmônicos esféricos é:
Comparando, vemos que
sugere que
. Além disso, o termo
está relacionado com
, onde
são os polinômios de Legendre associados.
Sabemos que para
, o polinômio é
, o que corresponde ao nosso caso (ignorando o sinal, já que estamos lidando com o módulo da função).
Então, temos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos aplicar a fórmula do operador
:
Isso significa que quando aplicamos
na função
, obtemos o mesmo harmônico esférico multiplicado por
.
Passo 5
Portanto, o resultado da aplicação do operador
na função dada é:
Resposta
Ao aplicar o operador
na função
, encontramos que:
Isso mostra que a função dada é um autofunção do operador
com o valor próprio
. Em outras palavras, a função representa um estado com momento angular total
, já que
para
.