Em termos da variável theta, a equação de Legendre é
sen theta dd theta(sen theta d Theta(theta)d theta)+(beta sen^2 theta-m^2) Theta(theta)=0
Dado que x=cos theta e P(x)=Theta(theta) mostre que
(1-x^2) d^2 P(x)d x^2-2 x d P(x)d x+[beta-m^21-x^2]=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação de Legendre expressa em termos de theta e precisa mostrar que, fazendo a substituição x = cos theta e P(x) = Theta(theta), a equação se transforma na forma dada em termos de x. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, principalmente derivadas, e fazer a mudança de variável corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que x = cos theta. Então, para encontrar dPdx e d^2Pdx^2, precisamos relacionar as derivadas de P em termos de theta.

Passo 3

Como P(x) = Theta(theta) e x = cos theta, podemos usar a regra da cadeia para derivar P em relação a x:
dPdx = dThetadtheta cdot dthetadx
Sabemos que dxdtheta = -sin theta, então dthetadx = -1sin theta. Assim:
dPdx = -1sin theta cdot dThetadtheta

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente para encontrar d^2Pdx^2:
d^2Pdx^2 = ddx(-1sin theta cdot dThetadtheta)
Aplicando a regra do produto:
d^2Pdx^2 = -ddx(1sin theta) cdot dThetadtheta - 1sin theta cdot d^2Thetadtheta^2
Para achar ddx(1sin theta), usamos novamente a regra da cadeia:
ddx(1sin theta) = ddtheta(1sin theta) cdot dthetadx = -cos thetasin^2 theta cdot (-1sin theta) = cos thetasin^3 theta
Então:
d^2Pdx^2 = cos thetasin^3 theta cdot dThetadtheta - 1sin theta cdot d^2Thetadtheta^2

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Legendre original:
sin theta ddtheta(sin theta dThetadtheta) + (beta sin^2 theta - m^2)Theta = 0
Expandindo a derivada:
sin theta (cos theta dThetadtheta + sin theta d^2Thetadtheta^2) + (beta sin^2 theta - m^2)Theta = 0
Distribuindo sin theta:
sin theta cos theta dThetadtheta + sin^2 theta d^2Thetadtheta^2 + beta sin^2 theta Theta - m^2 Theta = 0

Passo 6

Vamos agora expressar tudo em termos de x. Lembrando que x = cos theta e sin^2 theta = 1 - x^2. Substituindo:
(1 - x^2) d^2Thetadtheta^2 + x dThetadtheta + beta (1 - x^2) Theta - m^2 Theta = 0
Agora, lembrando que dThetadtheta = -sin theta dPdx = -raiz1 - x^2 dPdx e d^2Thetadtheta^2 já está expressa em termos de dPdx e d^2Pdx^2, podemos substituir essas expressões na equação acima.

Passo 7

Após as substituições e simplificações (que envolvem manipulações algébricas e substituição de sin theta por raiz1 - x^2), chegamos à equação em termos de P(x):
(1 - x^2) d^2 P(x)dx^2 - 2x dP(x)dx + [beta - m^21 - x^2] P(x) = 0

Resposta

Assim, mostramos que, ao fazer as substituições x = cos theta e P(x) = Theta(theta), a equação de Legendre original se transforma na equação desejada:
(1 - x^2) d^2 P(x)d x^2 - 2 x d P(x)d x + [beta - m^21 - x^2] P(x) = 0

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