Em termos da variável
, a equação de Legendre é
Dado que
e
mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação de Legendre expressa em termos de
e precisa mostrar que, fazendo a substituição
e
, a equação se transforma na forma dada em termos de
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, principalmente derivadas, e fazer a mudança de variável corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Então, para encontrar
e
, precisamos relacionar as derivadas de
em termos de
.
Passo 3
Como
e
, podemos usar a regra da cadeia para derivar
em relação a
:
Sabemos que
, então
. Assim:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente para encontrar
:
Aplicando a regra do produto:
Para achar
, usamos novamente a regra da cadeia:
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Legendre original:
Expandindo a derivada:
Distribuindo
:
Passo 6
Vamos agora expressar tudo em termos de
. Lembrando que
e
. Substituindo:
Agora, lembrando que
e
já está expressa em termos de
e
, podemos substituir essas expressões na equação acima.
Passo 7
Após as substituições e simplificações (que envolvem manipulações algébricas e substituição de
por
), chegamos à equação em termos de
:
Resposta
Assim, mostramos que, ao fazer as substituições
e
, a equação de Legendre original se transforma na equação desejada: