Calcule os valores de R_{2} e C de um filtro ativo passa-altas com ganho na banda de passagem de 1 e uma frequência de corte de 1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, se R_{1} for 1 \Omega (Observação: esse é o filtro protótipo passa-altas ativo).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular R_{2} e C de um filtro ativo passa-altas protótipo, sabendo que o ganho na banda de passagem é 1 (magnitude) e a frequência de corte é 1\\ \mathrm{rad/s}.
  • Foi dado que R_{1}=1\\ \Omega.
Informações relevantes fornecidas:
  • R_{1}=1\\ \Omega.
  • Ganho em banda de passagem (módulo) igual a 1.
  • Frequência de corte \omega_{c}=1\\ \mathrm{rad/s}.
  • Trata-se do filtro protótipo passa-altas ativo (topologia padrão de primeira ordem).

Passo 2

Escolha do método (por que esse método):
  • O filtro ativo passa-altas protótipo de primeira ordem usualmente é feito com um amplificador operacional em configuração inversora, onde a impedância de entrada é a série de um capacitor C e de um resistor R_{1}; o resistor R_{2} é o resistor de realimentação. Essa topologia é a mais direta para obter um passa-altas de primeira ordem com ganho controlado por R_{2}/R_{1}. Vou usar a análise dessa topologia (método simples e direto, que usa KCL no nó inversor e a aproximação de terra virtual do op-amp ideal).

Passo 3

Descrever a topologia e escrever a expressão básica:
  • Topologia: entrada passa por um capacitor C em série com R_{1} até o nó de entrada inversora do op-amp; no laço de realimentação há R_{2}; entrada não inversora aterrada (0 V).
  • Impedância em série da entrada: Z_{\text{in}}=R_{1}+\dfrac{1}{sC}.
  • Para um amplificador inversor com impedância de entrada Z_{\text{in}} e resistor de realimentação R_{2}, a função de transferência é (op-amp ideal, nó inversor em terra virtual):
H(s)=\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}=-\frac{R_{2}}{Z_{\text{in}}}.

Passo 4

Substituir Z_{\text{in}} e simplificar para obter a forma padrão:
  • Substituindo Z_{\text{in}}=R_{1}+\dfrac{1}{sC} obtemos
H(s)=-\frac{R_{2}}{R_{1}+\dfrac{1}{sC}}.
  • Multiplicando numerador e denominador por sC (para ficar na forma canônica):
H(s)=-\frac{R_{2}\,sC}{1+sR_{1}C}.
  • Escrevendo com \tau=R_{1}C:
H(s)=-\frac{R_{2}}{R_{1}}\cdot\frac{s\tau}{1+s\tau}.
  • Observações importantes:
    • Em altas frequências ( s\to j\infty) o fator \dfrac{s\tau}{1+s\tau}\to 1, então o ganho em banda de passagem (magnitude) é \left|\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right|.
    • A frequência de corte de magnitude (ponto de -3 dB) ocorre para \omega_{c}=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{R_{1}C}.

Passo 5

Usar as condições do enunciado para determinar R_{2} e C:
  • Condição do ganho em banda: como o enunciado especifica ganho de banda igual a 1 (módulo), tem-se
\left|\frac{R_{2}}{R_{1}}\right|=1 \quad\Rightarrow\quad R_{2}=R_{1}.
Como foi dado R_{1}=1\\ \Omega, conclui-se
R_{2}=1\\ \Omega.
  • Condição da frequência de corte: \omega_{c}=1\\ \mathrm{rad/s} e \omega_{c}=\dfrac{1}{R_{1}C}. Assim
1=\frac{1}{R_{1}C}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{R_{1}}.
Substituindo R_{1}=1\\ \Omega:
C=1\\ \mathrm{F}.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação didática):
  • Com R_{2}=R_{1}=1\\ \Omega o ganho de alta frequência é \left|H(j\omega\to\infty)\right|=1 (o circuito é um inversor de ganho unitário, logo a fase é -180^\circ, mas o módulo é 1, como pedido).
  • Com C=1\\ \mathrm{F} e R_{1}=1\\ \Omega, temos \tau=R_{1}C=1 e \omega_{c}=1/\tau=1\\ \mathrm{rad/s}, conforme especificado.
  • No ponto de corte \omega=\omega_{c}=1 a magnitude é
|H(j1)|=\frac{R_{2}}{R_{1}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
ou seja, queda de 3\\ \mathrm{dB}, coerente com definição de frequência de corte.

Resposta

R_{2}=1\\ \Omega
C=1\\ \mathrm{F}

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