Projete um filtro ativo passa-faixa para um equalizador gráfico com fator de amplificação igual a 2 dentro da faixa de frequências entre 100 e 10.000 Hz . Use capacitores de 0,2 \mu \mathrm{~F}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: projetar um filtro ativo passa-faixa cuja faixa passante vai de 100\\ \text{Hz} até 10\,000\\ \text{Hz} e que tenha fator de amplificação igual a 2 (ou seja, ganho de tensão A_v=2) dentro dessa faixa.
  • Dados fixos fornecidos: todos os capacitores devem ser de 0,2\\ \mu\mathrm{F}.
  • Restrição prática implícita: quero uma solução simples, que dê ganho 2 no intervalo indicado e cortes aproximados em 100\\ \text{Hz} e 10\\ \text{kHz}.
Informações relevantes que vou usar (sem começar a resolver ainda):
  • A relação de corte de um circuito RC de primeira ordem é \displaystyle f_c=\frac{1}{2\pi R C}.
  • Para um amplificador não inversor a relação entre resistores é \displaystyle A_v = 1+\frac{R_f}{R_g}.
  • Uma solução prática e simples para um passa-faixa largo é cascatar um filtro passa-alta (HP) com corte em 100\\ \text{Hz}, um amplificador com ganho 2 (no meio) e um filtro passa-baixa (LP) com corte em 10\\ \text{kHz}. Vou adotar essa topologia porque é fácil de entender, projetar com capacitores fixos e verificar o ganho em banda.

Passo 2

Escolha da topologia e justificativa (explicando a ideia didaticamente).
  • Topologia escolhida: entrada → filtro passa-alta RC (passivo, primeira ordem) → amplificador não inversor com ganho 2 (ativo) → filtro passa-baixa RC (passivo, primeira ordem) → saída.
  • Por que isso funciona? Em um filtro passa-alta RC de primeira ordem, frequências muito abaixo de f_c são atenuadas; em um passa-baixa RC de primeira ordem, frequências muito acima de f_c são atenuadas. Cascatando HP e LP com cortes em 100\\ \text{Hz} e 10\\ \text{kHz} obtemos uma janela (passa-faixa) onde as frequências entre esses cortes passam relativamente sem atenuação. Colocando um amplificador com ganho fixo entre os dois filtros, garantimos que dentro dessa janela o sinal seja amplificado por 2.
  • Observação prática: filtros passivos de primeira ordem têm queda de -3\\ \text{dB} exatamente no ponto de corte; o ganho efetivo no limite da banda será levemente menor que 2 nesses pontos. Isso é esperado e aceitável para um equalizador gráfico simples.

Passo 3

Projeto do filtro passa-alta (cálculo de R a partir de C e f_c) — explicando a fórmula.
  • Fórmula básica: para um RC simples (capacitor em série com a entrada e resistor para terra) o ponto de corte é
f_c=\frac{1}{2\pi R C}.
Aqui f_c é a frequência de corte (Hz), R é a resistência (ohms) e C é a capacitância (farads).
  • Queremos f_{L}=100\\ \text{Hz} e temos C=0,2\\ \mu\mathrm{F}=0,2\times10^{-6}\\ \mathrm{F}. Isolando R:
R_{HP}=\frac{1}{2\pi C f_{L}}.
  • Substituindo números (mostrando as contas passo a passo):
R_{HP}=\frac{1}{2\pi\cdot(0,2\times10^{-6})\cdot 100} =\frac{1}{2\pi\cdot 20\times10^{-6}} =\frac{1}{125{,}6637\times10^{-6}} \approx 7957{,}7\\ \Omega.
  • Valor prático: escolhe-se um resistor comercial padrão próximo, por exemplo R_{HP}=8{,}2\\ \mathrm{k}\Omega. Com esse valor o corte real fica ligeiramente diferente; vou calcular na etapa seguinte.

Passo 4

Projeto do filtro passa-baixa (cálculo de R a partir de C e f_c) — explicando a fórmula.
  • Mesma fórmula aplicada para o LP: para um RC simples (resistor em série e capacitor para terra) o ponto de corte é
f_c=\frac{1}{2\pi R C}.
Queremos f_{H}=10\,000\\ \text{Hz} e C=0,2\\ \mu\mathrm{F}. Logo
R_{LP}=\frac{1}{2\pi C f_{H}}.
  • Substituindo:
R_{LP}=\frac{1}{2\pi\cdot(0,2\times10^{-6})\cdot 10\,000} =\frac{1}{2\pi\cdot 2\times10^{-3}} =\frac{1}{0{,}01256637} \approx 79{,}577\\ \Omega.
  • Valor prático: escolhe-se um resistor comercial próximo, por exemplo R_{LP}=82\\ \Omega.

Passo 5

Projeto do amplificador não inversor com ganho 2 — fórmula e escolha de resistores.
  • Fórmula do ganho em configuração não inversora:
A_v = 1+\frac{R_f}{R_g},
onde R_f é o resistor de realimentação (entre saída e entrada negativa) e R_g é o resistor entre a entrada negativa e o terra.
  • Para A_v=2 basta que \dfrac{R_f}{R_g}=1, isto é R_f=R_g.
  • Para valores práticos e impedâncias de entrada razoáveis escolho, por exemplo, R_f=R_g=10\\ \mathrm{k}\Omega. Assim
A_v = 1+\frac{10\,\mathrm{k}}{10\,\mathrm{k}} = 2.

Passo 6

Verificações numéricas finais (frequências reais com os valores comerciais escolhidos) e montagem prática do circuito.
  • Com C=0,2\\ \mu\mathrm{F} e R_{HP}=8{,}2\\ \mathrm{k}\Omega o corte baixo real é
f_{L,\text{real}}=\frac{1}{2\pi\cdot 8{,}2\times10^{3}\cdot 0,2\times10^{-6}} =\frac{1}{2\pi\cdot 1{,}64\times10^{-3}} \approx 97{,}1\\ \text{Hz}.
  • Com C=0,2\\ \mu\mathrm{F} e R_{LP}=82\\ \Omega o corte alto real é
f_{H,\text{real}}=\frac{1}{2\pi\cdot 82\cdot 0,2\times10^{-6}} =\frac{1}{2\pi\cdot 16{,}4\times10^{-6}} \approx 9710\\ \text{Hz}.
  • Essas pequenas diferenças são aceitáveis: o passa-faixa cobre aproximadamente de 97\\ \text{Hz} a 9{,}7\\ \text{kHz}, bem próximo do especificado.
  • Montagem (descrição passo a passo de como ligar):
    1. Entrada do sinal → capacitor C_1=0,2\\ \mu\mathrm{F} em série → nó A.
    2. Do nó A ligar R_{HP}=8{,}2\\ \mathrm{k}\Omega ao terra (isto é o arranjo típico do HP passivo série C e R para terra). O nó A é a saída do bloco HP.
    3. Alimentar a entrada não inversora ( +) do op-amp com o nó A. Ligar R_f=10\\ \mathrm{k}\Omega entre saída do op-amp e entrada inversora ( -), e R_g=10\\ \mathrm{k}\Omega entre entrada inversora ( -) e terra. Assim a etapa amplificadora fornece ganho 2.
    4. Saída do op-amp → série com R_{LP}=82\\ \Omega → nó B (saída final). Do nó B ligar C_2=0,2\\ \mu\mathrm{F} ao terra (arranjo clássico do LP série R e C para terra).
  • Observação importante: o resistor 82\\ \Omega é baixo e impõe maior corrente de saída no op-amp; se desejar reduzir corrente e trabalhar com resistores na faixa de 1\\ \mathrm{k}\Omega 100\\ \mathrm{k}\Omega, pode-se implementar o passa-baixa usando um filtro ativo (por exemplo, um amplificador em configuração com RC no realimentação) em vez de um RC passivo. Uma alternativa prática é usar duas etapas ativas (HP ativo + LP ativo) onde se escolhem resistores de 10\\ \mathrm{k}\Omega e usar C=0,2\\ \mu\mathrm{F} para obter as mesmas frequências sem precisar de resistores muito baixos. Mas a solução apresentada é a mais direta para entender o conceito.

Passo 7

Resumo dos componentes finais escolhidos e lembretes práticos.
  • Componentes finais (lista pronta para montagem):
    • C_1 = C_2 = 0,2\\ \mu\mathrm{F}.
    • R_{HP} = 8{,}2\\ \mathrm{k}\Omega (aproximando de 7{,}957{,}7\\ \Omega).
    • R_f = 10\\ \mathrm{k}\Omega e R_g = 10\\ \mathrm{k}\Omega (amplificador não inversor com A_v=2).
    • R_{LP} = 82\\ \Omega (aproximando de 79{,}577\\ \Omega).
  • Dicas finais: escolha um op-amp com boa resposta até alguns dezenas de kHz (por exemplo TL072, OPA2134, NE5532 dependendo da disponibilidade) e alimente-o com tensões apropriadas. Se preocupares com correntes elevadas pela saída (devido a 82\\ \Omega), prefira implementar o LP como etapa ativa para usar resistores maiores.

Resposta

C_1=C_2=0,2\\ \mu\mathrm{F}
R_{HP}=8{,}2\\ \mathrm{k}\Omega (corte \approx 97{,}1\\ \text{Hz})
R_f=10\\ \mathrm{k}\Omega,\\ R_g=10\\ \mathrm{k}\Omega (ganho A_v=2)
R_{LP}=82\\ \Omega (corte \approx 9{,}71\\ \text{kHz})

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