Projete um filtro ativo passa-baixas com ganho CC igual a 4 e uma frequência de corte de 500 Hz .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: projetar um filtro ativo passa-baixas com ganho em corrente contínua (ganho DC) igual a \,4 e frequência de corte igual a \,500\\ \text{Hz}.
  • Informação importante: não foi imposto nenhum outro requisito (ordem do filtro, impedâncias de entrada/saída, tipo de amplificador operacional). Vou projetar a solução mais simples e prática que atende exatamente os dois requisitos: ganho DC \,4 e corte \,500\\ \text{Hz}.

Passo 2

Escolha da topologia e ideia básica (sem fórmulas ainda).
  • Vou usar um amplificador operacional em configuração não inversora com a rede de realimentação composta por um resistor em paralelo com um capacitor (topologia standard de primeiro ordem, um “active first-order low-pass non-inverting”).
  • Motivação: com esta topologia é possível obter diretamente um ganho DC configurável e um polo único introduzido pela combinação R e C. É um circuito simples (um único op-amp), robusto para provas e fácil de dimensionar com componentes padrão.
  • Esquema funcional (descrição): a entrada é ligada ao terminal não inversor (+) do op-amp; o terminal inversor (–) tem conectado ao terra através de R_1 e ao saída do op-amp através de R_2 em paralelo com C.

Passo 3

Formular matematicamente o circuito e obter a função de transferência.
  • Denominações:
    • R_1 é o resistor entre o nó do terminal inversor e o terra.
    • R_2 é o resistor em paralelo com o capacitor C entre a saída e o terminal inversor.
    • Z_f será a impedância do ramo de realimentação (saída → inversor), ou seja Z_f = R_2 \parallel \dfrac{1}{sC}.
    • Z_g será a impedância do resistor para o terra, neste caso Z_g = R_1.
  • Ganho de um amplificador não inversor com realimentação geral: H(s)=1+\frac{Z_f}{Z_g}.
  • Calcular Z_f: Z_f = \frac{1}{\dfrac{1}{R_2}+sC}=\frac{R_2}{1+sR_2C}.
  • Substituindo em H(s): H(s)=1+\frac{\dfrac{R_2}{1+sR_2C}}{R_1}
H(s)=1+\frac{R_2/R_1}{1+sR_2C}.
  • Reescrevendo em forma que mostra polo e ganhos: H(s)=1+\frac{R_2/R_1}{1+sR_2C}=1+\frac{K}{1+s\tau},onde \,K=\dfrac{R_2}{R_1} e \,\tau=R_2C.
  • Propriedades importantes extraídas:
    • Ganho DC ( s=0): H(0)=1+\frac{R_2}{R_1}.
    • Ganho em altas frequências ( s\to\infty): H(\infty)=1.
    • O polo do sistema fica em s=-\dfrac{1}{R_2C}, portanto a frequência de corte (polo) é f_c=\frac{1}{2\pi R_2 C}.
    • Observação didática rápida: este circuito é um passa-baixas “sobreposto” a um nível de ganho em alta frequência igual a 1; o ganho passante (em baixas frequências) é maior que 1 (se R_2/R_1>0). Para um projeto de primeiro ordem, normalmente definimos f_c como \dfrac{1}{2\pi R_2 C}.

Passo 4

Impor as especificações do enunciado nas fórmulas e resolver para os componentes.
  • Especificação de ganho DC: H(0)=1+\frac{R_2}{R_1}=4 \quad\Rightarrow\quad \frac{R_2}{R_1}=3.Isso significa que R_2=3R_1.
  • Especificação de corte: f_c=\frac{1}{2\pi R_2 C}=500\\ \text{Hz}.Isolando C: C=\frac{1}{2\pi R_2 f_c}.
  • Agora escolhemos valores práticos para os resistores. Para simplificar cálculos e usar valores padrão, uma escolha simples é: R_1=11\\ \text{k}\Omega,\qquad R_2=33\\ \text{k}\Omega,pois R_2/R_1=33/11=3 e ambos são valores padrão E24/E12.
  • Calcular C teórico para f_c=500\\ \text{Hz} com R_2=33\\ \text{k}\Omega: C=\frac{1}{2\pi\cdot 33\times 10^3 \cdot 500}
C=\frac{1}{2\pi\cdot 16{,}5\times 10^6}\approx 9{,}64\times 10^{-9}\\ \text{F}=9{,}64\\ \text{nF}.
  • Comentário prático: capacitor de 9{,}64\\ \text{nF} não é um valor padrão comum; é muito prático usar um capacitor padrão C=10\\ \text{nF} (valor comercial comum). Se usarmos C=10\\ \text{nF} com R_2=33\\ \text{k}\Omega temos: f_c=\frac{1}{2\pi\cdot 33\times 10^3 \cdot 10\times 10^{-9}}\approx 482{,}2\\ \text{Hz},que está a apenas \approx 3{,}6\% de diferença do objetivo de 500\\ \text{Hz} — geralmente aceitável.
  • Alternativa igualmente simples: escolher R_1=10\\ \text{k}\Omega e R_2=30\\ \text{k}\Omega (também satisfaz R_2/R_1=3). Para esses valores: C=\frac{1}{2\pi\cdot 30\times 10^3 \cdot 500}\approx 10{,}61\\ \text{nF}.Com um capacitor padrão 10\\ \text{nF} obteríamos f_c\approx 530{,}5\\ \text{Hz} (diferença \approx 6{,}1\%). Portanto, a escolha R_1=11\\ \text{k}\Omega,\\ R_2=33\\ \text{k}\Omega,\\ C=10\\ \text{nF} dá uma aproximação melhor ao alvo.

Passo 5

Verificações finais, comportamento qualitativo e observações de prova/prática.
  • Confirmando ganho DC com a escolha R_1=11\\ \text{k}\Omega e R_2=33\\ \text{k}\Omega: H(0)=1+\frac{33\\ \text{k}\Omega}{11\\ \text{k}\Omega}=1+3=4.
  • Frequência de corte prática com C=10\\ \text{nF}: f_c\approx 482{,}2\\ \text{Hz}.Se for imprescindível alcançar exatamente 500\\ \text{Hz}, usar C\approx 9{,}64\\ \text{nF} (ou ajustar ligeiramente R_2 para um valor padrão que gere exatamente 500\\ \text{Hz}) é a solução teórica.
  • Observação de desenho do circuito (como desenhar na prova):
    • Entrada V_{in} → terminal não inversor + do op-amp.
    • Resistor R_1 do terminal inversor ao terra.
    • Resistor R_2 em paralelo com capacitor C entre a saída do op-amp e o terminal inversor .
    • Fonte de alimentação do op-amp adequada (por exemplo \pm 12\\ \text{V} ou conforme aplicativo).
  • Resumo do comportamento: ganho em baixa frequência =4; ao redor de f_c o ganho começa a cair (polo único). Em frequências muito altas o ganho tende a 1 (por causa da configuração com Z_f paralela ao capacitor).

Resposta

Projeto prático recomendado:
  • R_1=11\\ \text{k}\Omega
  • R_2=33\\ \text{k}\Omega
  • C=10\\ \text{nF}
Resultados com esses valores:
  • Ganho DC H(0)=4.
  • Frequência de corte prática f_c\approx 482{,}2\\ \text{Hz} (aproximação prática; para exatamente 500\\ \text{Hz} use C\approx 9{,}64\\ \text{nF} ou ajuste R_2).

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