Calcule os valores de x, y, z, e t tal que \left(\begin{array}{cc}2 x+y & t \\\ z-t & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 0 & y+2 z\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre duas matrizes 2\times2:
\left(\begin{array}{cc}2x+y & t \\\ z-t & 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 0 & y+2z\end{array}\right).
O que se pede: calcular os valores de x,\;y,\;z e t que tornam essas matrizes iguais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Entrada (1,1) da matriz à esquerda é 2x+y e da direita é 3.
  • Entrada (1,2) da matriz à esquerda é t e da direita é -1.
  • Entrada (2,1) da matriz à esquerda é z-t e da direita é 0.
  • Entrada (2,2) da matriz à esquerda é 3 e da direita é y+2z.

Passo 2

Princípio chave (explicado): duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes são iguais. Assim obtemos quatro equações, uma por cada posição:
\begin{cases} 2x+y = 3,\\[4pt] t = -1,\\[4pt] z - t = 0,\\[4pt] 3 = y + 2z. \end{cases}
Vou resolver esse sistema simples passo a passo, usando substituição (quando uma equação dá diretamente uma variável, a usamos nas outras).]

Passo 3

Começo pela equação mais direta: \,t=-1.
Isso já nos dá o valor de \,t. Substituir uma variável conhecida nas demais equações é a maneira mais rápida de simplificar o sistema.

Passo 4

Uso a equação \,z-t=0 e substituo \,t=-1:
z-(-1)=0 \quad\Rightarrow\quad z+1=0 \quad\Rightarrow\quad z=-1.
Expliquei cada passo: primeiro trocar o sinal de -1, somar 1 em ambos os lados para isolar z.

Passo 5

Agora uso a equação \,3 = y + 2z e substituo \,z=-1:
3 = y + 2(-1) \quad\Rightarrow\quad 3 = y - 2.
Para isolar y somo 2 em ambos os lados:
3 + 2 = y \quad\Rightarrow\quad y = 5.
Mostrei explicitamente a operação de somar 2 aos dois lados — regra básica de equações.

Passo 6

Finalmente uso \,2x+y=3 com \,y=5:
2x + 5 = 3 \quad\Rightarrow\quad 2x = 3-5 = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{2} = -1.
Novamente, isolei x passo a passo: subtrair 5 e dividir por 2.

Passo 7

Verificação final (sempre bom checar): substituindo \,x=-1,\;y=5,\;z=-1,\;t=-1 nas matrizes obtemos
\left(\begin{array}{cc}2(-1)+5 & -1 \\\\ -1-(-1) & 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 0 & 3\end{array}\right)
e a matriz da direita com y+2z vale
\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 0 & 5+2(-1)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 0 & 3\end{array}\right).
As duas matrizes coincidem, logo os valores encontrados estão corretos.

Resposta

x=-1
y=5
z=-1
t=-1

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