Que condições a e b devem satisfazer para que o sistema abaixo seja de Cramer?
\left\{\begin{array}{l} a x+b y=0 \\ a^{2} x+b^{2} y=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com incógnitas x\) e \(y\): \[\begin{cases} a x + b y = 0,\\[4pt] a^{2} x + b^{2} y = 0, \end{cases}
e pergunta quais condições os parâmetros a\] e \(b devem satisfazer para que o sistema seja de Cramer (ou seja, tenha solução única).]

Passo 2

Para um sistema quadrado 2\times2 ser de Cramer é necessário e suficiente que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. Vou escrever a matriz dos coeficientes A do sistema:
A=\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] a^{2} & b^{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Lembrete (fórmula do determinante 2\times2): para uma matriz \begin{pmatrix}p & q\\[4pt] r & s\end{pmatrix} tem-se
\det = p s - q r.
Aqui aplicamos com p=a, q=b, r=a^{2}, s=b^{2}. Portanto o determinante de A é
\det A = a\cdot b^{2} - b\cdot a^{2}.]

Passo 4

Fatorando o determinante para ver claramente quando ele se anula:
\det A = a b^{2} - a^{2} b = a b(b - a).
Logo a condição de Cramer ( \det A \neq 0) fica
a b(b - a) \neq 0.

Passo 5

Interpretando esse produto: para que a b(b-a) seja diferente de zero é necessário e suficiente que nenhum dos fatores seja zero. Assim as condições são
a \neq 0,\qquad b \neq 0,\qquad b-a \neq 0,
ou equivalentemente
a \neq 0,\qquad b \neq 0,\qquad a \neq b.
Observação didática: se \det A=0 o sistema homogêneo tem sempre a solução trivial x=y=0 e, por singularidade da matriz, existe pelo menos uma solução não trivival (infinitas soluções) — por isso não é de Cramer.

Resposta

a b(b-a)\neq 0
a\neq 0,\; b\neq 0,\; a\neq b

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