Que condições
e
devem satisfazer para que o sistema abaixo seja de Cramer?
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com incógnitas
e pergunta quais condições os parâmetros
devem satisfazer para que o sistema seja de Cramer (ou seja, tenha solução única).]
Passo 2
Para um sistema quadrado
ser de Cramer é necessário e suficiente que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. Vou escrever a matriz dos coeficientes
do sistema:
Passo 3
Lembrete (fórmula do determinante
): para uma matriz
tem-se
Aqui aplicamos com
,
,
,
. Portanto o determinante de
é
Passo 4
Fatorando o determinante para ver claramente quando ele se anula:
Logo a condição de Cramer (
) fica
Passo 5
Interpretando esse produto: para que
seja diferente de zero é necessário e suficiente que nenhum dos fatores seja zero. Assim as condições são
ou equivalentemente
Observação didática: se
o sistema homogêneo tem sempre a solução trivial
e, por singularidade da matriz, existe pelo menos uma solução não trivival (infinitas soluções) — por isso não é de Cramer.