Para que valores de k \mathrm{o}\) sistema \(\begin{cases}x+k y+2 z & =0 \\\\ -2 x+y-4 z & =0 \\\ x-3 y-k z & =0\end{cases} admite soluções não triviais (ou seja, é indeterminado)?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} x + k y + 2 z = 0\\[4pt] -2x + y -4 z = 0\\[4pt] x -3y - k z = 0 \end{cases}
e pergunta para quais valores de k o sistema admite soluções não triviais (isto é, além da solução x=y=z=0).
Informações relevantes fornecidas:
  • As incógnitas são x,y,z.
  • O parâmetro é k.
  • O sistema é homogêneo (termos constantes todos iguais a zero).]

Passo 2

Princípio-chave (explicado de forma direta): um sistema linear homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0} (onde A é a matriz dos coeficientes) tem solução não trivial se, e somente se, a matriz A for singular, isto é, se o determinante de A for zero.
Explicando em palavras: se \det(A)\neq0 então as únicas soluções são x=y=z=0; se \det(A)=0 então as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes e existe um vetor não nulo (x,y,z) que satisfaz o sistema.

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes A:
A = \begin{pmatrix} 1 & k & 2\\[4pt] -2 & 1 & -4\\[4pt] 1 & -3 & -k \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) como função de k e achar os valores de k que anulam esse determinante.]

Passo 4

Calculando \det(A) por expansão pela primeira linha (cada termo é coeficiente \times determinante do menor correspondente):
\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1 & -4\\[4pt] -3 & -k\end{vmatrix} - k\cdot\begin{vmatrix}-2 & -4\\[4pt] 1 & -k\end{vmatrix} + 2\cdot\begin{vmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1 & -3\end{vmatrix}.
Agora calcule cada menor:
\begin{vmatrix}1 & -4\\[4pt] -3 & -k\end{vmatrix}=1\cdot(-k)-(-4)\cdot(-3)=-k-12,
\begin{vmatrix}-2 & -4\\[4pt] 1 & -k\end{vmatrix}=(-2)\cdot(-k)-(-4)\cdot 1=2k+4,
\begin{vmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1 & -3\end{vmatrix}=(-2)\cdot(-3)-1\cdot 1=6-1=5.
Substituindo na expressão de \det(A):
\det(A) = ( -k-12 ) - k(2k+4) + 2\cdot 5.
Simplificando passo a passo:
\det(A) = -k-12 -2k^2 -4k +10 = -2k^2 -5k -2.
Podemos escrever
\det(A) = -\bigl(2k^2+5k+2\bigr).]

Passo 5

Para que haja solução não trivial precisamos de \det(A)=0. Assim:
- \bigl(2k^2+5k+2\bigr)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2k^2+5k+2=0.
Resolvendo a equação quadrática: o discriminante é
\Delta = 5^2 - 4\cdot2\cdot2 = 25-16=9.
As raízes são
k = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2\cdot 2} = \frac{-5\pm3}{4}.
Logo
k = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2} \qquad\text{ou}\qquad k = \frac{-5-3}{4} = -2.

Passo 6

Interpretação final e checagem curta: para k=-\tfrac{1}{2}\) ou \(k=-2\) a matriz \(A\) é singular e o sistema tem soluções não triviais (infinitas soluções, pois é sistema homogêneo com posto menor que 3). Para conferir que isso é real, um exemplo rápido para \(k=-2\): o sistema vira \[\begin{cases} x-2y+2z=0,\\[4pt] -2x+y-4z=0,\\[4pt] x-3y+2z=0, \end{cases}
e subtraindo a primeira da terceira obtém-se -y=0\Rightarrow y=0\]. Com \(y=0 da primeira temos x+2z=0\Rightarrow x=-2z. Escolhendo z=1 obtemos a solução não trivial (x,y,z)=(-2,0,1). Assim a condição está correta.]

Resposta

-2
-\tfrac{1}{2}

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