Para que valores de k \mathrm{o}\) sistema \(\begin{cases}x+k y+2 z & =0 \\\\ -2 x+y-4 z & =0 \\\ x-3 y-k z & =0\end{cases} admite soluções não triviais (ou seja, é indeterminado)?
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} x + k y + 2 z = 0\\[4pt] -2x + y -4 z = 0\\[4pt] x -3y - k z = 0 \end{cases}
e pergunta para quais valores de k o sistema admite soluções não triviais (isto é, além da solução x=y=z=0).
Informações relevantes fornecidas:
As incógnitas são x,y,z.
O parâmetro é k.
O sistema é homogêneo (termos constantes todos iguais a zero).]
Passo 2
Princípio-chave (explicado de forma direta): um sistema linear homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0} (onde A é a matriz dos coeficientes) tem solução não trivial se, e somente se, a matriz A for singular, isto é, se o determinante de A for zero.
Explicando em palavras: se \det(A)\neq0 então as únicas soluções são x=y=z=0; se \det(A)=0 então as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes e existe um vetor não nulo (x,y,z) que satisfaz o sistema.
Passo 3
Escrevemos a matriz dos coeficientes A:
A = \begin{pmatrix} 1 & k & 2\\[4pt] -2 & 1 & -4\\[4pt] 1 & -3 & -k \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) como função de k e achar os valores de k que anulam esse determinante.]
Passo 4
Calculando \det(A) por expansão pela primeira linha (cada termo é coeficiente \times determinante do menor correspondente):
Resolvendo a equação quadrática: o discriminante é
\Delta = 5^2 - 4\cdot2\cdot2 = 25-16=9.
As raízes são
k = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2\cdot 2} = \frac{-5\pm3}{4}.
Logo
k = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2} \qquad\text{ou}\qquad k = \frac{-5-3}{4} = -2.
Passo 6
Interpretação final e checagem curta: para k=-\tfrac{1}{2}\) ou \(k=-2\) a matriz \(A\) é singular e o sistema tem soluções não triviais (infinitas soluções, pois é sistema homogêneo com posto menor que 3). Para conferir que isso é real, um exemplo rápido para \(k=-2\): o sistema vira
\[\begin{cases} x-2y+2z=0,\\[4pt] -2x+y-4z=0,\\[4pt] x-3y+2z=0, \end{cases}
e subtraindo a primeira da terceira obtém-se -y=0\Rightarrow y=0\]. Com \(y=0 da primeira temos x+2z=0\Rightarrow x=-2z. Escolhendo z=1 obtemos a solução não trivial (x,y,z)=(-2,0,1). Assim a condição está correta.]