Uma chapa com largura 100 mm , comprimento 200 mm e espessura 12 mm é carregada em tração na direção do seu comprimento. A chapa possui uma fissura lateral de comprimento (a)=15,65 \mathrm{~mm}. Determine, considerando um fator de segurança de 2,5: a) a máxima carga possivel que se pode aplicar sem que a placa escoe; e b) a máxima carga possível, sem que a placa apresente um crescimento incontrolável da trinca (desconsiderar o efeito do raio de plastificação).
Dados: \sigma_{\text {esc }}=1100 \mathrm{MPa}, \mathrm{K}_{\mathrm{IC}}=490 \mathrm{MPa}(\text { in })^{1 / 2}, \mathrm{f}(\mathrm{a} / \mathrm{W})=1,25

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, considerando um fator de segurança N=2,5:
  1. a) A máxima carga possível que se pode aplicar sem que a placa escoe.
  2. b) A máxima carga possível sem que a placa apresente um crescimento incontrolável da trinca (isto é, sem fratura por instabilidade da trinca).
Informações fornecidas (vou listar tudo claramente):
W=100\\ \mathrm{mm},\quad L=200\\ \mathrm{mm},\quad t=12\\ \mathrm{mm}
a=15,65\\ \mathrm{mm}
\sigma_{\text{esc}}=1100\\ \mathrm{MPa}
K_{IC}=490\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{in}^{1/2}
f\!\left(\frac{a}{W}\right)=1,25
Observação importante que usarei: a carga de tração P distribuída na seção transversal da placa gera uma tensão nominal média \sigma dada por \sigma=\dfrac{P}{tW}. Portanto, sabendo uma tensão admissível \sigma_{\text{adm}} eu encontro a carga admissível por P=\sigma_{\text{adm}}\,tW.

Passo 2

Cálculo da carga máxima sem escoamento (critério de escoamento com fator de segurança).
Primeiro, a tensão admissível para evitar escoamento com o fator de segurança N é
\sigma_{\text{adm,esc}}=\frac{\sigma_{\text{esc}}}{N}.
Aqui \sigma_{\text{esc}} é a tensão de escoamento (fornecida) e N é o fator de segurança. Explico: isso significa que, para ter margem, só permitimos aplicar uma fração da tensão de escoamento igual a 1/N.
Substituindo numericamente:
\sigma_{\text{adm,esc}}=\frac{1100}{2,5}=440\\ \mathrm{MPa}.
Agora uso a relação entre carga e tensão média na seção:
P_{a}=\sigma_{\text{adm,esc}}\; t W.
Aqui tW é a área da seção transversal que resiste à tração (espessura \times largura). Em unidades: \mathrm{MPa}= \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2, tW em \mathrm{mm}^2 P em \mathrm{N}.
Calculando:
tW=12\cdot 100=1200\\ \mathrm{mm}^2,
P_{a}=440\cdot 1200=528000\\ \mathrm{N}=528\\ \mathrm{kN}.

Passo 3

Cálculo da carga máxima sem crescimento incontrolável da trinca (critério de fratura).
Conceito e fórmula usada: o fator de intensidade de tensão para uma trinca em modo I é
K_I=\sigma\;\sqrt{\pi a}\;f\!\left(\frac{a}{W}\right),
onde
  • K_I é o fator de intensidade de tensão (unidade \mathrm{MPa}\,\mathrm{mm}^{1/2} ou \mathrm{MPa}\,\mathrm{in}^{1/2}),
  • \sigma é a tensão nominal média aplicada,
  • a é o comprimento da trinca (mesma unidade usada em \sqrt{\cdot}),
  • f(a/W) é o fator geométrico dado.
A condição de instabilidade por fratura é K_I \ge K_{IC}. Assim, a tensão crítica que faz K_I=K_{IC} é
\sigma_{\text{crit}}=\frac{K_{IC}}{f\sqrt{\pi a}}.
Para segurança introduzimos o fator N, portanto a tensão admissível contra fratura será
\sigma_{\text{adm,fract}}=\frac{\sigma_{\text{crit}}}{N}=\frac{K_{IC}}{N\,f\sqrt{\pi a}}.
Antes de calcular, atenção às unidades: a está em \mathrm{mm}, mas K_{IC} foi dado em \mathrm{MPa}\,\mathrm{in}^{1/2}. Preciso converter K_{IC} para \mathrm{MPa}\,\mathrm{mm}^{1/2}.
Conversão:
1\\ \mathrm{in}=25{,}4\\ \mathrm{mm}\quad\Rightarrow\quad 1\\ \mathrm{in}^{1/2}=(25{,}4)^{1/2}\\ \mathrm{mm}^{1/2}=5{,}03968\\ \mathrm{mm}^{1/2}.
Portanto
K_{IC}=490\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{in}^{1/2}=490\cdot 5{,}03968=2469{,}44\\ \mathrm{MPa}\,\mathrm{mm}^{1/2}.

Passo 4

Cálculos numéricos para o critério de fratura.
Calculo de \sqrt{\pi a} com a=15{,}65\\ \mathrm{mm}:
\pi a=\pi\cdot 15{,}65=49{,}1698\\ (\text{aprox.}),
\sqrt{\pi a}= \sqrt{49{,}1698}=7{,}0107\\ \mathrm{mm}^{1/2}\\ (\text{aprox.}).
Agora a tensão crítica sem fator de segurança é
\sigma_{\text{crit}}=\frac{K_{IC}}{f\sqrt{\pi a}} =\frac{2469{,}44}{1{,}25\cdot 7{,}0107} =\frac{2469{,}44}{8{,}763375} =281{,}79\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{aprox.}).
Aplicando o fator de segurança N=2{,}5:
\sigma_{\text{adm,fract}}=\frac{281{,}79}{2{,}5}=112{,}716\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{aprox.}).
Finalmente converto essa tensão admissível em carga admissível usando P=\sigma tW:
P_{b}=\sigma_{\text{adm,fract}}\;tW =112{,}716\cdot 1200 =135259{,}2\\ \mathrm{N}=135{,}26\\ \mathrm{kN}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Interpretação rápida (útil para a prova): comparei os dois limites
P_a=528\\ \mathrm{kN}\quad\text{(limite por escoamento)}
P_b=135{,}26\\ \mathrm{kN}\quad\text{(limite por fratura da trinca)}
O menor valor controla o projeto: neste caso a fratura por crescimento da trinca ocorre muito antes do escoamento, então o limite seguro real é P_b. Mas como pediram as duas quantidades, eu as calculei separadamente.

Resposta

a) P_{\max,\text{sem escoar}}=528000\\ \mathrm{N} (ou 528\\ \mathrm{kN}).
b) P_{\max,\text{sem fratura instável}}=135259{,}2\\ \mathrm{N}á (ou 135{,}26\\ \mathrm{kN}).

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