Calcule os valores de x e y para que as matrizes A=(cc1 & 3 -1 & 0) e B=(ccx & y 0 & 2) comutem na multiplicação.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para encontrar os valores de x e y de modo que as matrizes A e B comutem na multiplicação, ou seja, AB = BA. Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedade de comutatividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto AB. Para multiplicar duas matrizes, a entrada da linha i e coluna j de AB é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de A pelas colunas de B. Então:
AB = 1 & 3 -1 & 0 x & y 0 & 2 = 1 cdot x + 3 cdot 0 & 1 cdot y + 3 cdot 2 -1 cdot x + 0 cdot 0 & -1 cdot y + 0 cdot 2 = x & y + 6 - x & - y

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto BA da mesma forma:
BA = x & y 0 & 2 1 & 3 -1 & 0 = x cdot 1 + y cdot (-1) & x cdot 3 + y cdot 0 0 cdot 1 + 2 cdot (-1) & 0 cdot 3 + 2 cdot 0 = x - y & 3x -2 & 0

Passo 4

Para que A e B comutem, precisamos que AB = BA. Isso dá um sistema de equações comparando cada entrada das matrizes:
  1. x = x - y (entrada [1,1])
  2. y + 6 = 3x (entrada [1,2])
  3. -x = -2 (entrada [2,1])
  4. -y = 0 (entrada [2,2])
Vamos resolver:
  • Da equação 3: -x = -2 Rightarrow x = 2
  • Da equação 4: -y = 0 Rightarrow y = 0
  • Verificando na equação 2: 0 + 6 = 3 cdot 2 Rightarrow 6 = 6 ✔️
  • E na equação 1: 2 = 2 - 0 Rightarrow 2 = 2 ✔️

Resposta

Os valores que fazem as matrizes A e B comutarem são x = 2 e y = 0.

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