Nos Exercícios de 39 a 48, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
sumn=0^+infty(-1)^n 5^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série infinita sumn=0^+infty(-1)^n 5^2n+1(2n+1)! e descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos considerar os valores absolutos dos termos da série, ou seja:
sumn=0^+infty | (-1)^n 5^2n+1(2n+1)! | = sumn=0^+infty 5^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Agora, para saber se essa nova série converge, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste analisa o limite do quociente entre o termo seguinte e o termo atual da série:
an = 5^2n+1(2n+1)!
Calculando o limite:
Simplificando:
À medida que limn to infty | an+1an | = limn to infty 5^2(n+1)+1(2(n+1)+1)! times (2n+1)!5^2n+1 cresce, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, então o limite é 0:
= limn to infty 5^2n+3(2n+3)! times (2n+1)!5^2n+1 = limn to infty 5^2 (2n+2)(2n+3) = limn to infty 25(2n+2)(2n+3)

Passo 4

Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série de valores absolutos converge. Isso significa que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=0^+infty(-1)^n 5^2n+1(2n+1)! é absolutamente convergente.

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