Nos Exercícios de 39 a 48, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série infinita e descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos considerar os valores absolutos dos termos da série, ou seja:
Passo 3
Agora, para saber se essa nova série converge, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste analisa o limite do quociente entre o termo seguinte e o termo atual da série:
an = 5^2n+1(2n+1)!
Calculando o limite:
Simplificando:
À medida que limn to infty | an+1an | = limn to infty 5^2(n+1)+1(2(n+1)+1)! times (2n+1)!5^2n+1 cresce, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, então o limite é 0:
= limn to infty 5^2n+3(2n+3)! times (2n+1)!5^2n+1 = limn to infty 5^2 (2n+2)(2n+3) = limn to infty 25(2n+2)(2n+3)
Passo 4
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série de valores absolutos converge. Isso significa que a série original é absolutamente convergente.
Resposta
A série sumn=0^+infty(-1)^n 5^2n+1(2n+1)! é absolutamente convergente.