Nos Exercicios de 1 a 8, escreva os quatro primeiros nuimeros da seqüência e ache o seu limite, se existir.
n+3 n^24+2 n^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os quatro primeiros termos da sequência an=n+3n^24+2n^3 e determinar o seu limite, se existir. O conteúdo envolve cálculo de termos iniciais de uma sequência racional e o uso de limite de sequência.

Passo 2

Para calcular os quatro primeiros termos, substituímos n=1,2,3,4 em an=n+3n^24+2n^3 e simplificamos:
Para n=1:
a1=1+3cdot1^24+2cdot1^3=46=23
Para n=2:
a2=2+3cdot44+2cdot8=1420=710
Para n=3:
a3=3+3cdot94+2cdot27=3058=1529
Para n=4:
a4=4+3cdot164+2cdot64=52132=1333

Passo 3

Para determinar o limite limntoinftyan, usamos o fato de que, em uma sequência racional, os termos de maior grau em n dominam o comportamento assintótico. Aqui o numerador é de grau 2 ( 3n^2) e o denominador de grau 3 ( 2n^3).

Passo 4

Fatoramos os termos de maior grau:
an=n+3n^24+2n^3=n^2l(3+1nr)n^3l(2+4n^3r)=1n,3+1n2+4n^3
Quando ntoinfty, temos 1/nto0 e os termos 1/n, 4/n^3 vão a zero. Logo
limntoinftyan=0

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são tfrac23, tfrac710, tfrac1529 e tfrac1333. O limite da sequência é 0.

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